[26] integral1^infty 1raizx+x raizx d x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral imprópria
integral1^infty 1raizx + x raizx , dx
Conteúdo: integrais impróprias e substituição de variáveis.

Passo 2

Observe que
raizx + xraizx = raizx(1 + x),
logo a integranda se simplifica para
1raizx(1 + x) = x^-1/21 + x

Passo 3

Fazemos a substituição t = raizx, assim x = t^2 e dx = 2t , dt. Quando x = 1, t = 1; quando x to infty, t to infty. A integral torna-se
integral1^infty x^-1/21 + x , dx = integral1^infty 21 + t^2 , dt

Passo 4

Integrando em t, temos
integral 21 + t^2 , dt = 2 arctan t

Passo 5

Avaliando de t = 1 até t to infty, obtemos
2l(arctan(infty) - arctan(1)r) = 2l(pi2 - pi4r) = pi2

Resposta

pi2

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