Ache a área da região fechada dada pela curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região fechada pela curva dada por
. Isso cai dentro do conteúdo de cálculo de áreas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula para calcular áreas nessas coordenadas e aplicar a função que foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para a área
de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é a função que descreve a curva, e
e
são os limites de integração para o ângulo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função dada
na fórmula da área. Ficamos com:
Simplificando um pouco, temos:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração
e
. A curva
descreve um círculo completo quando
varia de
a
radianos. Portanto, os limites são
e
.
A integral fica assim:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Avaliado de
a
:
Resposta
Portanto, a área da região fechada pela curva
é: