Ache a área da região fechada dada pela curva de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região fechada pela curva dada por . Isso cai dentro do conteúdo de cálculo de áreas em coordenadas polares. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula para calcular áreas nessas coordenadas e aplicar a função que foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para a área A = 12 integralalpha^beta de de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é a função que descreve a curva, e e são os limites de integração para o ângulo .

Passo 3

Agora, vamos substituir a função dada A = 12 integralalpha^beta (a sin theta)^2 , dtheta na fórmula da área. Ficamos com:
A = a^22 integralalpha^beta sin^2 theta , dtheta
Simplificando um pouco, temos:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração A = a^22 integral0^pi sin^2 theta , dtheta e sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2 . A curva A = a^22 integral0^pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = a^24 integral0^pi (1 - cos(2theta)) , dtheta descreve um círculo completo quando integral (1 - cos(2theta)) , dtheta = theta - sin(2theta)2 varia de [ theta - sin(2theta)2 ]0^pi = pi - 0 = pi a radianos. Portanto, os limites são e .
A integral fica assim:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Avaliado de a :

Resposta

Portanto, a área da região fechada pela curva A = a^2 pi4 é:

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