Calcule os seguintes limites:
lim x 0 3^x-1x^2

Passo 1

A questão pede para calcular limxto03^x-1x^2. Estamos em limites de indeterminação do tipo 0/0, e vamos usar a Regra de L’Hôpital, que permite diferenciar numerador e denominador até remover a indeterminação.

Passo 2

Ao substituir x=0 diretamente, obtemos 3^0-1=0 no numerador e 0^2=0 no denominador, ou seja, forma indeterminada 0/0. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x)
quando f(a)=g(a)=0 e o limite do quociente das derivadas existir ou divergir.

Passo 3

Derivando numerador e denominador temos:
Numerador: ddx(3^x-1)=3^xcdotln3
Denominador: ddx(x^2)=2x
Então o limite passa a ser
limxto03^xln32x

Passo 4

Agora, ao tentar xto0 nessa nova expressão, o numerador tende a ln3 e o denominador a zero, gerando um quociente que cresce sem limite. Mais precisamente, para xto0^+ o valor vai a +infty e para xto0^- vai a -infty. Portanto não há valor finito para o limite do tipo dois lados.

Resposta

O limite não existe (diverge para +∞ quando x→0⁺ e para –∞ quando x→0⁻).

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