26.9 Microelectronic devices are fabricated by forming many layers of thin films onto a silicon wafer. For example, thin films of arsenic as a common dopant for silicon are commonly deposited onto silicon by chemical vapor deposition, or CVD, of arsine (
) vapor onto the surface of the wafer. The chemical reaction for this CVD process is
It is proposed to allow this process to take place at a pressure of 303.9 Pa and a temperature of
. In many CVD reactors, the gas phase over the thin film is not mixed. Furthermore, at high temperatures, the surface reaction is very rapid. Consequently, the molecular diffusion of
vapor to the surface often controls the rate of
formation. Consider the very simplified CVD reactor illustrated in Chapter 25, Problem 25.11.
A mixture of arsine and hydrogen gas continuously flows into the reactor. The mixture contains
arsine. A diffuser provides a quiescent gas space over the growing As film. The distance from the diffuser to the film surface is 6.0 cm . The gas mixture may be assumed to behave as an ideal gas. The molecular weight of arsenic, As, is
mol. The LennardJones parameters for
are
and
.
a. What is the molecular diffusion coefficient of arsine vapor in hydrogen gas at
and 303.9 Pa ?
b. Develop a model to predict the diffusion-limited flux of arsine to the surface of the wafer. State at least three assumptions relevant to this process.
c. The diameter of the wafer is 15 cm . Estimate the initial deposition rate of arsenic onto the surface of the wafer, in units of grams of As per minute.
a. What is the molecular diffusion coefficient of arsine vapor in hydrogen gas at
b. Develop a model to predict the diffusion-limited flux of arsine to the surface of the wafer. State at least three assumptions relevant to this process.
c. The diameter of the wafer is 15 cm . Estimate the initial deposition rate of arsenic onto the surface of the wafer, in units of grams of As per minute.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Calcular o coeficiente de difusão molecular de arsina (
) em hidrogênio ( ) a e . - (b) Desenvolver um modelo que preveja o fluxo limitado por difusão de arsina até a superfície do wafer e declarar pelo menos três pressupostos relevantes.
- (c) Estimar a taxa inicial de deposição de arsênio (
) sobre o wafer de diâmetro , em gramas de por minuto.
Informações fornecidas (vou listar tudo que usarei):
Observação sobre parâmetros de Lennard-Jones: o enunciado fornece parâmetros de Lennard-Jones rotulados como de
,
Como o enunciado não fornece parâmetros explícitos para
, vou usar esses parâmetros (fornecidos no enunciado) como aproximados para
— esta é uma hipótese que explicarei quando aplicar a teoria. Para o hidrogênio (
) utilizarei parâmetros típicos:
Passo 2
A estratégia para (a) — calcular
— e a fórmula que usaremos. Explicação didática do conceito:
- O coeficiente de difusão binária
varia com a temperatura, pressão, tamanhos efetivos das moléculas e energia de interação. Para gases raros ou diluídos, usa-se a expressão de Chapman–Enskog (em forma prática empírica) que dá em função de , , os diâmetros efetivos e o integral de colisão . - Uma forma prática (muito usada em engenharia) é:
onde:
-
está em ; -
é a pressão em atmosferas; -
em ; -
é o integral de colisão adimensional (função de ); -
e são massas molares em . - Esta fórmula resulta de simplificações da teoria cinética e já incorpora constantes numéricas convenientes para as unidades dadas.
Agora vou calcular passo a passo todos os termos que aparecem nessa fórmula.
Passo 3
Cálculo de parâmetros efetivos
e
:
Cálculo da temperatura reduzida:
Passo 4
Cálculo do integral de colisão
(explicando a ideia e usando a correlação de Neufeld):
-
é uma função adimensional de . Uma correlação prática (Neufeld et al.) que dá valores precisos é
com constantes (valores padrão):
Vou calcular termo a termo para
.
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Os outros dois termos são negligíveis (expoentes muito negativos para este
); somando tudo:
Passo 5
Agora aplico a fórmula prática para
. Primeiro converto
para atm:
Calculo de
:
Termo
com
(AsH
: As 75 + 3H ~78) e
:
Agora plugando tudo:
Faço as contas passo a passo:
Multiplicando pelo fator
já incluído acima (notei que a fórmula original já contém esse fator; incorporei no cálculo), obtemos
Convertendo para
:
Passo 6
Desenvolvimento do modelo de fluxo limitado por difusão (parte b). Vou apresentar conceitos e dedução passo a passo:
- Quando a reação na superfície é muito rápida, a concentração na superfície de
é praticamente zero (todo que chega reage instantaneamente). Então o transporte através da camada gasosa é o passo limitante. - Em regime estacionário unidimensional na direção
(do difusor até a superfície ), a lei de Fick (primeira lei) diz:
onde:
-
é o fluxo molar de (mol m s ), -
é a concentração molar de (mol m ), -
é o coeficiente de difusão (m /s). - Condições de contorno (hipóteses do modelo):
- na superfície
: (reação instantânea); - na interface próxima ao difusor
: , onde é a concentração correspondente à fração molar de .
- na superfície
- Para solução linear (difusão puramente molecular,
constante), integra-se:
Aplicando Fick:
- Conversão de pressão para concentração pelo gás ideal:
- Resumo do modelo (expressão final do fluxo molar de arsina):
(esta é a previsão do fluxo limitado por difusão em mol m
s
).
Pressupostos (pelo menos três), listados de forma clara:
- Camada gasosa quiescente e unidimensional — não há convecção na camada de espessura
; transporte é por difusão molecular apenas. - Reação superficial extremamente rápida — concentração de
na superfície é zero (absorção total). - Propriedades constantes —
é constante ao longo da camada; temperatura e pressão uniformes.
Posso acrescentar mais hipóteses relevantes: mistura ideal de gases, estado estacionário, e que a presença de H2 em excesso não altera a difusão por efeitos multicomponentes (uso da aproximação binária).
Passo 7
Cálculo numérico do fluxo usando a expressão do passo anterior:
- Primeiro obtenho
:
- Já calculamos
e . Então:
Isto é o fluxo molar de
que atinge a superfície.
Passo 8
Conversão do fluxo molar em massa de
depositada na pastilha e cálculo da taxa de deposição (parte c):
- Cada mol de
que reage produz 1 mol de (pela estequiometria ). Assim o fluxo molar de é igual a . - Massa depositada por unidade de área por tempo:
onde
(vou usar g/mol para o resultado final em g).
- Área do wafer de diâmetro
( ):
- Massa depositada por segundo sobre o wafer:
- Convertendo para gramas por minuto:
Resposta
(a)
(b) Modelo (difusão unidimensional estacionária com superfície perfeita de consumo):
Pressupostos principais: (1) camada gasosa quiescente e transporte unidimensional por difusão; (2) reação superficial muito rápida
; (3)
,
e
constantes ao longo da camada (mistura ideal e regime estacionário).
(c) Taxa inicial estimada de deposição: