26.7 A spherical ball of solid, nonporous naphthalene, a “moth ball”, is suspended in still air. The naphthalene ball slowly sublimes, releasing the naphthalene into the surrounding air by molecular diffusion-limited process. Estimate the time required to reduce the diameter from 2 to 0.5 cm when the surrounding air is at 347 K and 1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. Naphthalene has a molecular weight of 128 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, a solid density of 1.145 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3},
a diffusivity in air of 8.19 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, and exerts a vapor pressure of 5 Torr ( 666 Pa ) at 347 K .

Passo 1

O problema pede: estimar o tempo necessário para que uma esfera sólida de naftaleno diminua seu diâmetro de 2{\,}\text{cm} para 0{,}5{\,}\text{cm} por sublimação controlada por difusão na atmosfera estacionária às condições dadas. Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades convertidas quando necessário):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro inicial: }D_1 = 2{\,}\text{cm}\Rightarrow R_1=1{\,}\text{cm}=0{,}01{\,}\text{m},\\\ &\text{Diâmetro final: }D_2 = 0{,}5{\,}\text{cm}\Rightarrow R_2=0{,}25{\,}\text{cm}=0{,}0025{\,}\text{m},\\\ &T=347{\,}\text{K},\\\ &p_{\text{sat}}=5{\,}\text{Torr}=666{\,}\text{Pa}\\ \\ (\text{vapor pressure do naftaleno a }347{\,}\text{K}),\\\ &M=128{\,}\text{g/mol}=0{,}128{\,}\text{kg/mol},\\\ &\rho_{\text{sol}}=1{,}145{\,}\text{g/cm}^3=1145{\,}\text{kg/m}^3,\\\ &D_{\text{air}}=8{,}19\times10^{-6}{\,}\text{m}^2/\text{s},\\\ &R_u=8{,}314{\,}\text{J/(mol\,K)}\\ (\text{constante dos gases}). \end{aligned}ââ
O enunciado implica um processo controlado por difusão na vizinhança da esfera estacionária (ar parado). Vou usar essas informações para montar a equação de taxa de perda de massa e integrar para obter o tempo pedido.

Passo 2

Modelo físico e equação de fluxo por difusão (aula curta e direta).
  • Em regime quasi-estacionário para difusão radial de uma esfera isolada em ar estacionário, a equação de conservação estacionária leva à solução para o fluxo molar total J (mol/s) que sai da superfície da esfera:
J = 4\pi D R\bigl(c_s - c_\infty\bigr),
onde:
  • D é o coeficiente de difusão do vapor na ar ( \text{m}^2/\text{s});
  • R é o raio instantâneo da esfera ( \text{m});
  • c_s é a concentração (mol/m ^3) do vapor junto à superfície (determinado pela pressão de vapor do sólido);
  • c_\infty é a concentração no infinito (distante).
    Explicação rápida da fórmula: para difusão esférica estacionária a solução da equação \nabla\cdot(-D\nabla c)=0 com simetria radial dá um gradiente dc/dr\propto 1/r^2; integrando do raio R até \infty obtemos este fluxo total J. (Se c_\infty for desprezível comparado a c_s, usamos c_\infty\approx0.)
  • A taxa de perda de massa (kg/s) é \dot m = -M J (sinal negativo pois massa do sólido diminui), com M em kg/mol. A massa do naftaleno na esfera é m = \tfrac{4}{3}\pi R^3 \rho_{\text{sol}}.
Vou assumir c_\infty\approx 0 (ar inicialmente sem vapor de naftaleno e processo lento: a concentração distante permanece muito baixa comparada à de saturação junto à superfície). Essa é a hipótese padrão para “difusão-limited evaporation into large volume of still air”.

Passo 3

Concentração do vapor junto à superfície usando a lei dos gases ideais.
  • A concentração molar c_s correspondente à pressão de vapor p_{\text{sat}} é
c_s=\frac{p_{\text{sat}}}{R_u T}.
Substituindo números:
c_s=\frac{666{\,}\text{Pa}}{8{,}314{\,}\text{J/(mol\,K)}\times 347{\,}\text{K}} =\frac{666}{8{,}314\times347}.
Calculemos numericamente:
8{,}314\times347=2884{,}758\quad\Rightarrow\quad c_s\approx\frac{666}{2884{,}758}\approx0{,}2309\\ \text{mol/m}^3.

Passo 4

Equação diferencial para a evolução do raio (montagem das equações).
  • Fluxo molar total (com c_\infty\approx0):
J = 4\pi D R c_s.
  • Taxa de perda de massa do sólido:
\dot m = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi R^3\rho_{\text{sol}}\Bigr) =4\pi \rho_{\text{sol}} R^2 \frac{dR}{dt}.
Por outro lado \dot m = -M J = -M\cdot 4\pi D R c_s.
Igualando:
4\pi \rho_{\text{sol}} R^2 \frac{dR}{dt} = -4\pi M D R c_s.
Cancelando 4\pi e simplificando um fator R:
\rho_{\text{sol}} R \frac{dR}{dt} = - M D c_s.
Isolando \dfrac{dR}{dt}:
\frac{dR}{dt} = -\frac{M D c_s}{\rho_{\text{sol}}}\cdot\frac{1}{R}.
Comentário didático: essa equação mostra que a velocidade de retração do raio cresce quando o raio diminui (proporcional a 1/R), típico de processos limitados pela área e pelo gradiente de concentração.

Passo 5

Integração para obter o tempo necessário entre R_1 e R_2.
  • Separando variáveis:
R\,dR = -\frac{M D c_s}{\rho_{\text{sol}}}\,dt.
  • Integrando de R_1 até R_2 e de t=0 até t:
\int_{R_1}^{R_2} R\,dR = -\frac{M D c_s}{\rho_{\text{sol}}}\int_0^{t} dt.
  • O lado esquerdo é \tfrac{1}{2}(R_2^2 - R_1^2). Assim
\frac{1}{2}\bigl(R_2^2 - R_1^2\bigr) = -\frac{M D c_s}{\rho_{\text{sol}}}\,t.
Multiplicando por -1 e reorganizando:
t = \frac{\rho_{\text{sol}}}{2 M D c_s}\bigl(R_1^2 - R_2^2\bigr).
Essa é a expressão final a ser usada numericamente.

Passo 6

Substituição numérica e cálculo final (mostrando passos e conversões).
  • Primeiro calculemos R_1^2 - R_2^2:
R_1^2 = (0{,}01)^2 = 1{,}00\times10^{-4}{\,}\text{m}^2, \quad R_2^2 = (0{,}0025)^2 = 6{,}25\times10^{-6}{\,}\text{m}^2,
R_1^2 - R_2^2 = 1{,}00\times10^{-4} - 6{,}25\times10^{-6} = 9{,}375\times10^{-5}{\,}\text{m}^2.
  • Já calculámos c_s\approx0{,}2309\\ \text{mol/m}^3. Agora a constante no denominador:
2 M D c_s = 2\times(0{,}128){\,}\text{kg/mol}\times(8{,}19\times10^{-6}){\,}\text{m}^2/\text{s}\times(0{,}2309){\,}\text{mol/m}^3.
Calcule passo a passo:
8{,}19\times10^{-6}\times0{,}128 = 1{,}04832\times10^{-6},
1{,}04832\times10^{-6}\times0{,}2309 \approx 2{,}41917\times10^{-7},
2\times 2{,}41917\times10^{-7} = 4{,}83834\times10^{-7}\\ \text{(SI)}.
  • Agora o fator \rho_{\text{sol}}/(2 M D c_s):
\frac{\rho_{\text{sol}}}{2 M D c_s} = \frac{1145}{4{,}83834\times10^{-7}} \approx 2{,}366\times10^{9}\\ \text{s/m}^2.
  • Finalmente, o tempo:
t = 2{,}366\times10^{9}\times 9{,}375\times10^{-5} \\ \text{s} \approx 2{,}22\times10^{5}\\ \text{s}.
  • Converte para horas e dias:
t\approx 2{,}22\times10^{5}\\ \text{s}\approx \frac{2{,}22\times10^{5}}{3600}\\ \text{h}\approx 61{,}7\\ \text{h}\approx 2{,}57\\ \text{dias}.

Passo 7

Resumo, verificação rápida e observações práticas (motivação e empatia curta).
  • Resultado consistente dimensionalmente: \rho/(\text{kg/m}^3) dividido por (\text{kg/mol})(\text{m}^2/\text{s})(\text{mol/m}^3) \text{s/m}^2 multiplicado por \text{m}^2 resulta em segundos — está ok.
  • Observações sobre hipóteses: assumimos c_\infty\approx0 (ar grande e pouco saturado); assumimos regime quasi-estacionário (válido se o tempo de ajuste do campo de concentração é pequeno frente ao tempo de mudança do raio). Esses são hipóteses padrão em problemas de sublimação por difusão — podem causar erros se o ar estiver confinado ou houver convecção natural forte. Mas para estimativa em ar parado isso é o caminho certo.
  • Você conseguiu! A resposta numérica está logo abaixo, para conferir rápido.

Resposta

t \approx 2{,}22\times10^{5}\\ \text{s}\approx 61{,}7\\ \text{h}\approx 2{,}57\\ \text{dias}

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