26.7 A spherical ball of solid, nonporous naphthalene, a “moth ball”, is suspended in still air. The naphthalene ball slowly sublimes, releasing the naphthalene into the surrounding air by molecular diffusion-limited process. Estimate the time required to reduce the diameter from 2 to 0.5 cm when the surrounding air is at 347 K and
. Naphthalene has a molecular weight of
, a solid density of
,
a diffusivity in air of
, and exerts a vapor pressure of 5 Torr ( 666 Pa ) at 347 K .
a diffusivity in air of
Passo 1
O problema pede: estimar o tempo necessário para que uma esfera sólida de naftaleno diminua seu diâmetro de
para
por sublimação controlada por difusão na atmosfera estacionária às condições dadas. Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades convertidas quando necessário):
O enunciado implica um processo controlado por difusão na vizinhança da esfera estacionária (ar parado). Vou usar essas informações para montar a equação de taxa de perda de massa e integrar para obter o tempo pedido.
Passo 2
Modelo físico e equação de fluxo por difusão (aula curta e direta).
- Em regime quasi-estacionário para difusão radial de uma esfera isolada em ar estacionário, a equação de conservação estacionária leva à solução para o fluxo molar total
(mol/s) que sai da superfície da esfera:
onde:
-
é o coeficiente de difusão do vapor na ar ( ); -
é o raio instantâneo da esfera ( ); -
é a concentração (mol/m ) do vapor junto à superfície (determinado pela pressão de vapor do sólido); -
é a concentração no infinito (distante).
Explicação rápida da fórmula: para difusão esférica estacionária a solução da equaçãocom simetria radial dá um gradiente ; integrando do raio até obtemos este fluxo total . (Se for desprezível comparado a , usamos .) -
A taxa de perda de massa (kg/s) é
(sinal negativo pois massa do sólido diminui), com em kg/mol. A massa do naftaleno na esfera é .
Vou assumir
(ar inicialmente sem vapor de naftaleno e processo lento: a concentração distante permanece muito baixa comparada à de saturação junto à superfície). Essa é a hipótese padrão para “difusão-limited evaporation into large volume of still air”.
Passo 3
Concentração do vapor junto à superfície usando a lei dos gases ideais.
- A concentração molar
correspondente à pressão de vapor é
Substituindo números:
Calculemos numericamente:
Passo 4
Equação diferencial para a evolução do raio (montagem das equações).
- Fluxo molar total (com
):
- Taxa de perda de massa do sólido:
Por outro lado
.
Igualando:
Igualando:
Cancelando
e simplificando um fator
:
Isolando
:
Comentário didático: essa equação mostra que a velocidade de retração do raio cresce quando o raio diminui (proporcional a
), típico de processos limitados pela área e pelo gradiente de concentração.
Passo 5
Integração para obter o tempo necessário entre
e
.
- Separando variáveis:
- Integrando de
até e de até :
- O lado esquerdo é
. Assim
Multiplicando por
e reorganizando:
Essa é a expressão final a ser usada numericamente.
Passo 6
Substituição numérica e cálculo final (mostrando passos e conversões).
- Primeiro calculemos
:
- Já calculámos
. Agora a constante no denominador:
Calcule passo a passo:
- Agora o fator
:
- Finalmente, o tempo:
- Converte para horas e dias:
Passo 7
Resumo, verificação rápida e observações práticas (motivação e empatia curta).
- Resultado consistente dimensionalmente:
dividido por dá multiplicado por resulta em segundos — está ok. - Observações sobre hipóteses: assumimos
(ar grande e pouco saturado); assumimos regime quasi-estacionário (válido se o tempo de ajuste do campo de concentração é pequeno frente ao tempo de mudança do raio). Esses são hipóteses padrão em problemas de sublimação por difusão — podem causar erros se o ar estiver confinado ou houver convecção natural forte. Mas para estimativa em ar parado isso é o caminho certo. - Você conseguiu! A resposta numérica está logo abaixo, para conferir rápido.