Uma barra homogênea de comprimento L=1,00 \mathrm{~m} oscila como um pêndulo físico. Qual o período de oscilação na Terra, g_{\text {Terra }}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, quando a barra está suspensa
Como o período de oscilação da barra muda se ela for suspensa na Lua, g_{\text {Lua }}=1,62 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma barra homogênea de comprimento L=1,00\\ \mathrm{m} que oscila como pêndulo físico. Pedidos:
  • Calcular o período de oscilação quando a barra está suspensa na Terra, onde g_{\text{Terra}}=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Dizer como o período muda se a mesma barra for suspensa na Lua, onde g_{\text{Lua}}=1,62\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente dedutíveis:
  • A barra é homogênea (o centro de massa fica no ponto médio).
  • Quando “suspensa” entende-se o pivô em uma extremidade (pêndulo físico em torno de uma extremidade).
  • Comprimento L=1,00\\ \mathrm{m}.
  • Valores de g para Terra e Lua conforme dados do enunciado.

Passo 2

Formulação física e equação do movimento (a ideia por trás do resultado que vamos usar).
  • Para um pêndulo físico (corpo rígido oscilando em pequenas oscilações em torno de um pivô), a equação para pequenas oscilações é obtida das leis de Newton/rotacional: o torque restaurador é aproximadamente -m g d\,\theta (usando \sin\theta\approx\theta para ângulos pequenos), onde:
    • m é a massa do corpo,
    • g é a aceleração da gravidade no local,
    • d é a distância do pivô ao centro de massa,
    • \theta é o ângulo de deslocamento (pequeno).
  • A equação de movimento rotacional é I\,\ddot{\theta} = -m g d\,\theta, onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao pivô.
  • Essa equação é a de um oscilador harmônico com frequência angular \omega = \sqrt{\frac{m g d}{I}}.
  • O período é então T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g d}}.
Expliquei o que cada símbolo representa para você poder aplicar a fórmula à barra.

Passo 3

Encontrar I e d para a barra homogênea pivotada numa extremidade.
  • Para uma barra homogênea de comprimento L a massa está distribuída uniformemente; o centro de massa fica no ponto médio, portanto d=\frac{L}{2}.
  • O momento de inércia em relação ao centro (eixo perpendicular ao plano, passando pelo centro) é I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}mL^{2}.(essa é uma fórmula padrão para uma barra fina e homogênea; pode ser memorizada ou obtida por integração da distribuição de massa.)
  • Usando o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para obter o momento de inércia em relação ao pivô na extremidade: I_{\text{pivô}}=I_{\text{cm}}+m d^{2}=\frac{1}{12}mL^{2}+m\left(\frac{L}{2}\right)^{2}.ô
  • Calculemos explicitamente: I_{\text{pivô}}=\frac{1}{12}mL^{2}+m\frac{L^{2}}{4}=\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{4}\right)mL^{2}=\frac{1}{3}mL^{2}.ô

Passo 4

Substituir I_{\text{pivô}}ô e d na fórmula do período e simplificar.
  • Usando I_{\text{pivô}}=\dfrac{1}{3}mL^{2}ô e d=\dfrac{L}{2}, temos T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{\text{pivô}}}{m g d}} =2\pi\sqrt{\frac{\dfrac{1}{3}mL^{2}}{m g \dfrac{L}{2}}}.ô
  • Cancelando m e simplificando L: T = 2\pi\sqrt{\frac{\tfrac{1}{3}L^{2}}{g\,\tfrac{L}{2}}} =2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}.
  • Portanto a fórmula final para esta barra pivotada na extremidade é T=2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}.Observação didática: isso mostra que T cresce com \sqrt{L} e decresce com \sqrt{g}. Em particular, se g diminui (como na Lua), T aumenta proporcionalmente a 1/\sqrt{g}.

Passo 5

Calcular numericamente para a Terra.
  • Substituindo L=1,00\\ \mathrm{m} e g_{\text{Terra}}=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}: T_{\text{Terra}}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot 1,00}{3\cdot 9,81}}.
  • Calculemos o argumento da raiz: \frac{2\cdot 1,00}{3\cdot 9,81}=\frac{2}{29,43}\approx 0,067965\ldots
\sqrt{0,067965\ldots}\approx 0,2607\ldots
T_{\text{Terra}}=2\pi\cdot 0,2607\ldots \approx 1,6379\\ \mathrm{s}\approx 1,64\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Calcular numericamente para a Lua e comparar.
  • Substituindo g_{\text{Lua}}=1,62\\ \mathrm{m/s^{2}} na mesma fórmula: T_{\text{Lua}}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot 1,00}{3\cdot 1,62}}.
  • Calculemos: \frac{2}{3\cdot 1,62}=\frac{2}{4,86}\approx 0,411522\ldots
\sqrt{0,411522\ldots}\approx 0,6416\ldots
T_{\text{Lua}}=2\pi\cdot 0,6416\ldots \approx 4,032\\ \mathrm{s}\approx 4,03\\ \mathrm{s}.
  • Relação entre os períodos (fórmula e número): como T\propto 1/\sqrt{g}, \frac{T_{\text{Lua}}}{T_{\text{Terra}}}=\sqrt{\frac{g_{\text{Terra}}}{g_{\text{Lua}}}} =\sqrt{\frac{9,81}{1,62}}\approx 2,46.Ou seja, na Lua o período é cerca de 2,46 vezes maior — oscila mais lentamente porque a gravidade é menor.

Resposta

T_{\text{Terra}} \approx 1,64\\ \mathrm{s}
T_{\text{Lua}} \approx 4,03\\ \mathrm{s} (aumento por um fator \approx 2,46)

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