Uma barra homogênea de comprimento
oscila como um pêndulo físico. Qual o período de oscilação na Terra,
, quando a barra está suspensa
Como o período de oscilação da barra muda se ela for suspensa na Lua,
.
Como o período de oscilação da barra muda se ela for suspensa na Lua,
Passo 1
O enunciado dá uma barra homogênea de comprimento
que oscila como pêndulo físico. Pedidos:
- Calcular o período de oscilação quando a barra está suspensa na Terra, onde
. - Dizer como o período muda se a mesma barra for suspensa na Lua, onde
.
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente dedutíveis:
- A barra é homogênea (o centro de massa fica no ponto médio).
- Quando “suspensa” entende-se o pivô em uma extremidade (pêndulo físico em torno de uma extremidade).
- Comprimento
. - Valores de
para Terra e Lua conforme dados do enunciado.
Passo 2
Formulação física e equação do movimento (a ideia por trás do resultado que vamos usar).
- Para um pêndulo físico (corpo rígido oscilando em pequenas oscilações em torno de um pivô), a equação para pequenas oscilações é obtida das leis de Newton/rotacional: o torque restaurador é aproximadamente
(usando para ângulos pequenos), onde: -
é a massa do corpo, -
é a aceleração da gravidade no local, -
é a distância do pivô ao centro de massa, -
é o ângulo de deslocamento (pequeno).
-
- A equação de movimento rotacional é
, onde é o momento de inércia do corpo em relação ao pivô. - Essa equação é a de um oscilador harmônico com frequência angular
- O período é então
Expliquei o que cada símbolo representa para você poder aplicar a fórmula à barra.
Passo 3
Encontrar
e
para a barra homogênea pivotada numa extremidade.
- Para uma barra homogênea de comprimento
a massa está distribuída uniformemente; o centro de massa fica no ponto médio, portanto - O momento de inércia em relação ao centro (eixo perpendicular ao plano, passando pelo centro) é
(essa é uma fórmula padrão para uma barra fina e homogênea; pode ser memorizada ou obtida por integração da distribuição de massa.) - Usando o teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner) para obter o momento de inércia em relação ao pivô na extremidade:
- Calculemos explicitamente:
Passo 4
Substituir
e
na fórmula do período e simplificar.
- Usando
e , temos - Cancelando
e simplificando : - Portanto a fórmula final para esta barra pivotada na extremidade é
Observação didática: isso mostra que cresce com e decresce com . Em particular, se diminui (como na Lua), aumenta proporcionalmente a .
Passo 5
Calcular numericamente para a Terra.
- Substituindo
e : - Calculemos o argumento da raiz:
Passo 6
Calcular numericamente para a Lua e comparar.
- Substituindo
na mesma fórmula: - Calculemos:
- Relação entre os períodos (fórmula e número): como
, Ou seja, na Lua o período é cerca de vezes maior — oscila mais lentamente porque a gravidade é menor.