(26,0 pontos) Uma onda transversal se propaga em uma corda, de forma que a sua função de onda é dada por
. Esta função é uma solução da equação de onda
. Considere que a corda possui 10 m de comprimento e uma massa de 10 kg distribuída de forma homogênea.
a) Encontre o comprimento de onda dessa onda (
pontos).
b) Determine o valor da frequência ăngular dessa onda (
pontos).
c) Encontre o valor da tensão aplicada na corda enquanto essa onda se propaga ( 6,0 pontos).
d) Determine as funções horárias da velocidade e da aceleração transversais para quaisquer segmentos da corda enquanto essa onda a atravessa (
pontos).
a) Encontre o comprimento de onda dessa onda (
b) Determine o valor da frequência ăngular dessa onda (
c) Encontre o valor da tensão aplicada na corda enquanto essa onda se propaga ( 6,0 pontos).
d) Determine as funções horárias da velocidade e da aceleração transversais para quaisquer segmentos da corda enquanto essa onda a atravessa (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados diretamente do enunciado).
- Função de onda dada:
- A equação de onda fornecida é
- Comprimento da corda:
. - Massa da corda:
(distribuição homogênea).
O enunciado pede:
a) o comprimento de onda ;
b) a frequência angular ;
c) a tensão na corda;
d) as funções horárias da velocidade e da aceleração transversais (isto é, e
) para qualquer segmento da corda enquanto a onda passa.
a) o comprimento de onda
b) a frequência angular
c) a tensão
d) as funções horárias da velocidade e da aceleração transversais (isto é,
Passo 2
Interpretação da forma da onda e identificação dos parâmetros que aparecem na função.
- A forma padrão de uma onda viajante harmônica é
onde:
-
é a amplitude (unidade: ); -
é o número de onda (unidade: ); -
é a frequência angular (unidade: ).
Comparando com a função dada, reconhecemos:
(A informação de
ainda não está num valor numérico no enunciado; vamos encontrá-la usando a equação de onda.)
Explicação didática rápida: o número de onda
mede quantos “radianos de fase” ocorrem por metro; a relação entre
e o comprimento de onda
é dada abaixo.
Passo 3
Encontrar o comprimento de onda
a partir de
.
Fórmula que liga
e
:
Isolando
:
Substituindo
:
Cálculo numérico (usar
):
Interpretação: a distância entre duas cristas consecutivas da onda é cerca de
.
Passo 4
Determinar a velocidade de propagação da onda a partir da equação de onda dada.
A equação de onda padrão para uma corda ideal é
onde
é a velocidade de propagação da onda (unidade:
).
Comparando com a equação fornecida:
logo
escolhemos o sinal positivo porque velocidade é magnitude.
Explicação: essa equação relaciona como a curvatura no espaço da forma de onda se relaciona com sua curvatura no tempo; o coeficiente é a velocidade ao quadrado.
Passo 5
Encontrar a frequência angular
a partir da relação entre
,
e
.
Para uma onda harmônica do tipo
a velocidade de fase é
Isolando
:
Substituindo
e
:
Comentário prático: a unidade
é apropriada para
; a frequência em hertz seria
se for necessária.
Passo 6
Calcular a tensão
na corda usando relação entre velocidade da onda e propriedades da corda.
Para uma corda com massa linear
(massa por unidade de comprimento) e tensão
, a velocidade de propagação satisfaz
Isolando
:
Primeiro calcular
. Como a massa total é
e o comprimento é
,
Substituindo
e
:
Interpretação: a tensão necessária para que ondas se propaguem a
numa corda com
é
.
Passo 7
Derivar a velocidade transversal horária
(velocidade vertical em cada ponto da corda).
Partimos de
Derivando em relação a
(com
fixo):
Como
, obtemos
Substituindo os valores numéricos
e
:
Calculando a amplitude da velocidade:
portanto
Explicação: o sinal negativo indica que quando a fase está aumentando, a velocidade é para baixo; a forma
é típica porque derivada de
dá
.
Passo 8
Derivar a aceleração transversal horária
.
Podemos derivar a expressão da velocidade em relação a
ou derivar duas vezes
diretamente:
Fazendo a derivada:
Simplificando (três sinais menos):
Observação útil: como
, tem-se também
o que é uma relação simples e prática para verificar resultados.
Substituindo números:
e
:
logo
Interpretação física: a aceleração vertical oscila com a mesma fase da posição, multiplicada por
; a amplitude da aceleração é
.
Resposta
a)
b)
c)
d)