(26,0 pontos) Uma onda transversal se propaga em uma corda, de forma que a sua função de onda é dada por y(x, t)=(0,75 m) \operatorname{sen}\left(3,0 \frac{r a d}{m} x-\omega t\right). Esta função é uma solução da equação de onda \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}= 16\left(\frac{m}{s}\right)^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Considere que a corda possui 10 m de comprimento e uma massa de 10 kg distribuída de forma homogênea.
a) Encontre o comprimento de onda dessa onda ( \mathbf{6 , 0} pontos).
b) Determine o valor da frequência ăngular dessa onda ( \mathbf{6 , 0} pontos).
c) Encontre o valor da tensão aplicada na corda enquanto essa onda se propaga ( 6,0 pontos).
d) Determine as funções horárias da velocidade e da aceleração transversais para quaisquer segmentos da corda enquanto essa onda a atravessa ( \mathbf{8 , 0} pontos).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados diretamente do enunciado).
  • Função de onda dada:
y(x,t) = (0,75\\ \text{m})\;\sin\!\left(3,0\\ \frac{\text{rad}}{\text{m}}\;x - \omega t\right).
  • A equação de onda fornecida é
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = 16\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^{2}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
  • Comprimento da corda: \;10\\ \text{m}.
  • Massa da corda: \;10\\ \text{kg} (distribuição homogênea).
O enunciado pede:
a) o comprimento de onda \lambda;
b) a frequência angular \omega;
c) a tensão T na corda;
d) as funções horárias da velocidade e da aceleração transversais (isto é, \partial y/\partial t e \partial^{2}y/\partial t^{2}) para qualquer segmento da corda enquanto a onda passa.

Passo 2

Interpretação da forma da onda e identificação dos parâmetros que aparecem na função.
  • A forma padrão de uma onda viajante harmônica é
y(x,t)=A\sin\!\big(kx-\omega t\big),
onde:
  • A é a amplitude (unidade: \text{m});
  • k é o número de onda (unidade: \text{rad}/\text{m});
  • \omega é a frequência angular (unidade: \text{rad}/\text{s}).
Comparando com a função dada, reconhecemos:
A = 0,75\\ \text{m},\qquad k = 3,0\\ \frac{\text{rad}}{\text{m}}.
(A informação de \omega ainda não está num valor numérico no enunciado; vamos encontrá-la usando a equação de onda.)
Explicação didática rápida: o número de onda k mede quantos “radianos de fase” ocorrem por metro; a relação entre k e o comprimento de onda \lambda é dada abaixo.

Passo 3

Encontrar o comprimento de onda \lambda a partir de k.
Fórmula que liga k e \lambda:
k = \frac{2\pi}{\lambda}.
Isolando \lambda:
\lambda = \frac{2\pi}{k}.
Substituindo k = 3,0\\ \frac{\text{rad}}{\text{m}}:
\lambda = \frac{2\pi}{3,0}.
Cálculo numérico (usar \pi\approx 3,1416):
2\pi \approx 6,2832 \quad\Rightarrow\quad \lambda \approx \frac{6,2832}{3,0}\approx 2,0944\\ \text{m}.
Interpretação: a distância entre duas cristas consecutivas da onda é cerca de 2,094\\ \text{m}.

Passo 4

Determinar a velocidade de propagação da onda a partir da equação de onda dada.
A equação de onda padrão para uma corda ideal é
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} = v^{2}\,\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
onde v é a velocidade de propagação da onda (unidade: \text{m}/\text{s}).
Comparando com a equação fornecida:
v^{2} = 16\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^{2},
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v = 4\\ \frac{\text{m}}{\text{s}},
escolhemos o sinal positivo porque velocidade é magnitude.
Explicação: essa equação relaciona como a curvatura no espaço da forma de onda se relaciona com sua curvatura no tempo; o coeficiente é a velocidade ao quadrado.

Passo 5

Encontrar a frequência angular \omega a partir da relação entre v, k e \omega.
Para uma onda harmônica do tipo y=A\sin(kx-\omega t) a velocidade de fase é
v = \frac{\omega}{k}.
Isolando \omega:
\omega = v\,k.
Substituindo v = 4\\ \frac{\text{m}}{\text{s}} e k=3,0\\ \frac{\text{rad}}{\text{m}}:
\omega = 4\cdot 3,0 = 12\\ \text{rad}/\text{s}.
Comentário prático: a unidade \text{rad}/\text{s} é apropriada para \omega; a frequência em hertz seria f=\omega/(2\pi) se for necessária.

Passo 6

Calcular a tensão T na corda usando relação entre velocidade da onda e propriedades da corda.
Para uma corda com massa linear \mu (massa por unidade de comprimento) e tensão T, a velocidade de propagação satisfaz
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Isolando T:
T=\mu\,v^{2}.
Primeiro calcular \mu. Como a massa total é 10\\ \text{kg} e o comprimento é 10\\ \text{m},
\mu = \frac{10\\ \text{kg}}{10\\ \text{m}} = 1\\ \frac{\text{kg}}{\text{m}}.
Substituindo \mu = 1\\ \text{kg}/\text{m} e v^{2} = 16\\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}:
T = 1\cdot 16 = 16\\ \text{N}.
Interpretação: a tensão necessária para que ondas se propaguem a 4\\ \text{m}/\text{s} numa corda com \mu=1\\ \text{kg}/\text{m} é 16\\ \text{N}.

Passo 7

Derivar a velocidade transversal horária \displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} (velocidade vertical em cada ponto da corda).
Partimos de
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
Derivando em relação a t (com x fixo):
\frac{\partial y}{\partial t} = A\cdot \frac{d}{dt}\big[\sin(kx-\omega t)\big] = A\cdot \cos(kx-\omega t)\cdot \frac{d}{dt}(kx-\omega t).
Como \dfrac{d}{dt}(kx-\omega t) = -\omega, obtemos
\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega\cos(kx-\omega t).
Substituindo os valores numéricos A=0,75\\ \text{m} e \omega=12\\ \text{rad}/\text{s}:
\frac{\partial y}{\partial t} = -(0,75)(12)\cos\!\left(3,0\;x - 12\;t\right).
Calculando a amplitude da velocidade:
0,75\cdot 12 = 9,0,
portanto
\frac{\partial y}{\partial t} = -9,0\\ \cos\!\left(3,0\;x - 12\;t\right)\quad\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right).
Explicação: o sinal negativo indica que quando a fase está aumentando, a velocidade é para baixo; a forma \cos é típica porque derivada de \sin \cos.

Passo 8

Derivar a aceleração transversal horária \displaystyle \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}.
Podemos derivar a expressão da velocidade em relação a t ou derivar duas vezes y diretamente:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial t}\big(-A\omega\cos(kx-\omega t)\big).
Fazendo a derivada:
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -A\omega\cdot\big(-\sin(kx-\omega t)\big)\cdot\frac{d}{dt}(kx-\omega t) = -A\omega\cdot\big(-\sin(kx-\omega t)\big)\cdot(-\omega).
Simplificando (três sinais menos):
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -A\omega^{2}\sin(kx-\omega t).
Observação útil: como y=A\sin(kx-\omega t), tem-se também
\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -\omega^{2}y,
o que é uma relação simples e prática para verificar resultados.
Substituindo números: \omega^{2}=12^{2}=144 e A=0,75:
A\omega^{2} = 0,75\cdot 144 = 108,
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\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = -108\\ \sin\!\left(3,0\;x - 12\;t\right)\quad\left(\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\right).
Interpretação física: a aceleração vertical oscila com a mesma fase da posição, multiplicada por -\omega^{2}; a amplitude da aceleração é 108\\ \text{m}/\text{s}^{2}.

Resposta

a) \lambda = \dfrac{2\pi}{3,0}\\ \text{m} \approx 2,094\\ \text{m}
b) \omega = 12\\ \text{rad}/\text{s}
c) T = 16\\ \text{N}
d) \displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} = -9,0\;\cos\!\big(3,0\,x - 12\,t\big)\\ \left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)
\displaystyle \frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = -108\;\sin\!\big(3,0\,x - 12\,t\big)\\ \left(\frac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\right)

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