(6 pontos) Considerando um sistema massa mola que pode ser descrito por um oscilador harmônico que satisfaz a seguinte equação diferencial: m a_{x}(t)+k x(t)=0, onde m é a massa do corpo preso a mola e k é a constante elástica da mola, marque a resposta errada.
A energia mecânica total desse oscilador é constante e proporcional ao quadrado da amplitude.
b) A energia cinética desse oscilador é máxima na posição de equilíbrio.
c) Os valores médios das energias cinética e potencial desse oscilador são iguais e valem \frac{1}{4} da energia mecânica total.
d) A energia potencial desse oscilador é máxima quando a massa presa à mola alcança seu deslocamento máximo.
e) A curva que representa a energia potencial desse oscilador, como função de x, é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a equação diferencial do oscilador massa-mola:
m\,a_x(t) + k\,x(t) = 0.
  • Parâmetros e símbolos importantes:
    • m é a massa,
    • k é a constante elástica da mola,
    • x(t) é o deslocamento em função do tempo,
    • a_x(t) é a aceleração, isto é a_x(t)=\ddot{x}(t).
  • O enunciado apresenta cinco afirmações (a)–(e) sobre energias e forma da energia potencial e pede: marque a resposta errada (ou seja, identifique qual das afirmações é falsa).

Passo 2

Solução geral do movimento e definições básicas (o que é amplitude, frequência, etc.).
A equação diferencial é a equação do oscilador harmônico simples. A solução geral (sem amortecimento) pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento),
  • \varphi é a fase inicial,
  • \omega é a frequência angular dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
A velocidade é a derivada:
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
e a aceleração satisfaz \ddot{x}(t)=-\omega^2 x(t), consistente com a equação dada.

Passo 3

Expressões para energias (cinética, potencial e total) e constância da energia.
Definições:
  • Energia cinética instantânea:
T(t)=\tfrac{1}{2}m v(t)^2.
  • Energia potencial elástica:
V(t)=\tfrac{1}{2}k x(t)^2.
Substituindo x(t) e v(t) obtemos:
T(t)=\tfrac{1}{2}m (A\omega)^2 \sin^2(\omega t+\varphi)=\tfrac{1}{2}k A^2 \sin^2(\omega t+\varphi),
pois m\omega^2=k.
V(t)=\tfrac{1}{2}k A^2 \cos^2(\omega t+\varphi).
A energia mecânica total é
E = T(t)+V(t)=\tfrac{1}{2}k A^2\big(\sin^2+\cos^2\big)=\tfrac{1}{2}k A^2,
que é constante no tempo e proporcional a A^2. Isso confirma a afirmação (a) como correta.

Passo 4

Análise da energia cinética máxima (afirmação b).
Da expressão
T(t)=\tfrac{1}{2}k A^2 \sin^2(\omega t+\varphi),
a energia cinética é máxima quando \sin^2(\omega t+\varphi)=1. Nesses instantes \cos(\omega t+\varphi)=0, portanto x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)=0. Ou seja, a energia cinética é máxima exatamente na posição de equilíbrio x=0. Assim a afirmação (b) é correta.

Passo 5

Análise da energia potencial máxima (afirmação d) e da forma de V(x) (afirmação e).
A energia potencial em função do tempo é
V(t)=\tfrac{1}{2}k A^2 \cos^2(\omega t+\varphi).
Ela é máxima quando \cos^2(\omega t+\varphi)=1, o que corresponde a x(t)=\pm A, isto é no deslocamento máximo. Assim a afirmação (d) é correta.
A energia potencial como função do deslocamento é
V(x)=\tfrac{1}{2}k x^2.
Isto é uma parábola cuja concavidade é voltada para cima (coeficiente \tfrac{1}{2}k>0). Portanto a afirmação (e) é correta.

Passo 6

Cálculo das médias temporais das energias (afirmação c) — passo decisivo para identificar a errada.
Queremos as médias temporais sobre um período T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Por exemplo, a média da energia cinética é
\langle T \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T T(t)\,dt = \frac{1}{T}\int_0^T \tfrac{1}{2}k A^2 \sin^2(\omega t+\varphi)\,dt.
Usa-se a identidade trigonométrica
\sin^2\theta = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2\theta)\big).
Ao integrar \cos(2\omega t+2\varphi) sobre um período inteiro, a contribuição se anula. Logo a média de \sin^2 sobre um período é \tfrac{1}{2}. Assim
\langle T \rangle = \tfrac{1}{2}k A^2 \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}k A^2.
Como a energia total é E=\tfrac{1}{2}k A^2, temos
\langle T \rangle = \frac{1}{2}E.
Pelo mesmo raciocínio (média de \cos^2 também é \tfrac{1}{2}):
\langle V \rangle = \tfrac{1}{4}k A^2 = \frac{1}{2}E.
Portanto as energias médias cinética e potencial são iguais entre si e valem metade da energia total, isto é \langle T\rangle=\langle V\rangle=\tfrac{1}{2}E.

Passo 7

Confronto final com as alternativas e identificação da alternativa errada.
  • (a) Correta — já demonstrado: E=\tfrac{1}{2}kA^2 \propto A^2 e é constante.
  • (b) Correta — T máxima em x=0.
  • (c) Afirma que as energias médias são iguais e valem \tfrac{1}{4} da energia total. Nós encontramos \langle T\rangle=\langle V\rangle=\tfrac{1}{2}E. Portanto a parte que diz “valem \tfrac{1}{4} da energia mecânica total” está errada. (c) é falsa.
  • (d) Correta — V máxima em x=\pm A.
  • (e) Correta — V(x)=\tfrac{1}{2}k x^2, parábola com concavidade para cima.
Conclusão: a única afirmação falsa é a (c).

Resposta

(c)

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