(6 pontos) Considerando um sistema massa mola que pode ser descrito por um oscilador harmônico que satisfaz a seguinte equação diferencial:
, onde
é a massa do corpo preso a mola e
é a constante elástica da mola, marque a resposta errada.
A energia mecânica total desse oscilador é constante e proporcional ao quadrado da amplitude.
b) A energia cinética desse oscilador é máxima na posição de equilíbrio.
c) Os valores médios das energias cinética e potencial desse oscilador são iguais e valem
da energia mecânica total.
d) A energia potencial desse oscilador é máxima quando a massa presa à mola alcança seu deslocamento máximo.
e) A curva que representa a energia potencial desse oscilador, como função de x, é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
b) A energia cinética desse oscilador é máxima na posição de equilíbrio.
c) Os valores médios das energias cinética e potencial desse oscilador são iguais e valem
d) A energia potencial desse oscilador é máxima quando a massa presa à mola alcança seu deslocamento máximo.
e) A curva que representa a energia potencial desse oscilador, como função de x, é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a equação diferencial do oscilador massa-mola:
- Parâmetros e símbolos importantes:
-
é a massa, -
é a constante elástica da mola, -
é o deslocamento em função do tempo, -
é a aceleração, isto é .
-
- O enunciado apresenta cinco afirmações (a)–(e) sobre energias e forma da energia potencial e pede: marque a resposta errada (ou seja, identifique qual das afirmações é falsa).
Passo 2
Solução geral do movimento e definições básicas (o que é amplitude, frequência, etc.).
A equação diferencial é a equação do oscilador harmônico simples. A solução geral (sem amortecimento) pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento), -
é a fase inicial, -
é a frequência angular dada por
A velocidade é a derivada:
e a aceleração satisfaz
, consistente com a equação dada.
Passo 3
Expressões para energias (cinética, potencial e total) e constância da energia.
Definições:
- Energia cinética instantânea:
- Energia potencial elástica:
Substituindo
e
obtemos:
pois
.
A energia mecânica total é
que é constante no tempo e proporcional a
. Isso confirma a afirmação (a) como correta.
Passo 4
Análise da energia cinética máxima (afirmação b).
Da expressão
a energia cinética é máxima quando
. Nesses instantes
, portanto
. Ou seja, a energia cinética é máxima exatamente na posição de equilíbrio
. Assim a afirmação (b) é correta.
Passo 5
Análise da energia potencial máxima (afirmação d) e da forma de
(afirmação e).
A energia potencial em função do tempo é
Ela é máxima quando
, o que corresponde a
, isto é no deslocamento máximo. Assim a afirmação (d) é correta.
A energia potencial como função do deslocamento é
Isto é uma parábola cuja concavidade é voltada para cima (coeficiente
). Portanto a afirmação (e) é correta.
Passo 6
Cálculo das médias temporais das energias (afirmação c) — passo decisivo para identificar a errada.
Queremos as médias temporais sobre um período
. Por exemplo, a média da energia cinética é
Usa-se a identidade trigonométrica
Ao integrar
sobre um período inteiro, a contribuição se anula. Logo a média de
sobre um período é
. Assim
Como a energia total é
, temos
Pelo mesmo raciocínio (média de
também é
):
Portanto as energias médias cinética e potencial são iguais entre si e valem metade da energia total, isto é
.
Passo 7
Confronto final com as alternativas e identificação da alternativa errada.
- (a) Correta — já demonstrado:
e é constante. - (b) Correta —
máxima em . - (c) Afirma que as energias médias são iguais e valem
da energia total. Nós encontramos . Portanto a parte que diz “valem da energia mecânica total” está errada. (c) é falsa. - (d) Correta —
máxima em . - (e) Correta —
, parábola com concavidade para cima.
Conclusão: a única afirmação falsa é a (c).
Resposta
(c)