a) Verifique explicitamente que \psi_{\alpha}(x) está normalizada.
b) Calcule \langle x\rangle,\left\langle x^{2}\right\rangle e \Delta x.
c) Calcule \langle p\rangle,\left\langle p^{2}\right\rangle e \Delta p, usando \hat{p}=-i \hbar \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}.
d) Mostre que \Delta x \Delta p=\frac{\hbar}{2}.
e) Calcule a energia média
\langle E\rangle(\alpha)=\left\langle\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}\right\rangle+\left\langle\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}\right\rangle .
f) Determine o valor de \alpha que minimiza \langle E\rangle(\alpha) e encontre a energia mínima. Interprete fisicamente o resultado.
Passo 1
O enunciado dá o potencial do oscilador harmônico unidimensional
As perguntas que precisamos responder são, na ordem:
(a) Verificar que \psi_{\alpha}(x) está normalizada.
(b) Calcular \langle x\rangle, \langle x^{2}\rangle e \Delta x.
(c) Calcular \langle p\rangle, \langle p^{2}\rangle e \Delta p, usando \hat{p}=-i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}.
(d) Mostrar que \Delta x\,\Delta p=\dfrac{\hbar}{2}.
(e) Calcular a energia média
(a) Normalização. Explicar a ideia: a função está normalizada se \int_{-\infty}^{\infty}|\psi_{\alpha}(x)|^{2}\,\mathrm{d}x=1. Como \psi_{\alpha} é real, |\psi_{\alpha}|^{2}=\psi_{\alpha}^{2}. Calcular:
Portanto \psi_{\alpha} está normalizada para todo \alpha>0.
Passo 3
(b) Cálculo de \langle x\rangle e \langle x^{2}\rangle. Definição e observação de simetria: \langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{\alpha}^{*}(x)\,x\,\psi_{\alpha}(x)\,\mathrm{d}x. Como \psi_{\alpha}^{2}(x) é função par e x é ímpar, o integrando é ímpar; assim a integral sobre (-\infty,\infty) é zero. Logo
(c) Cálculo de \langle p\rangle e \langle p^{2}\rangle. Primeiro lembrar: a expectativa de um operador \hat{O} é \langle O\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}\hat{O}\psi\,\mathrm{d}x. Usar \hat{p}=-i\hbar\,\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}. Como \psi_{\alpha}(x)=N e^{-\alpha x^{2}} com N=\left(\dfrac{2\alpha}{\pi}\right)^{1/4}, calcular derivadas necessárias.
Mas \int x\,\psi_{\alpha}^{2}(x)\,\mathrm{d}x= \langle x\rangle=0 (integrando função ímpar), então
\langle p\rangle=0.
Agora \langle p^{2}\rangle. Usar \hat{p}^{2}=-\hbar^{2}\dfrac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}. Primeiro calcular a segunda derivada de \psi_{\alpha}. A partir de \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\psi_{\alpha}=-2\alpha x\psi_{\alpha},
Interpretação física: o valor de \alpha que minimiza a energia é \alpha_{\text{min}}=\dfrac{m\omega}{2\hbar}. A função de onda correspondente é exatamente a função de onda fundamental (ground state) do oscilador harmônico quântico, e a energia mínima obtida \dfrac{\hbar\omega}{2} é a energia de ponto zero (zero-point energy). Além disso, essa gaussiana minimizadora também satisfaz a igualdade na desigualdade de Heisenberg (\Delta x\,\Delta p=\hbar/2), ou seja, é um estado de incerteza mínima — comportamento esperado para o estado fundamental do oscilador harmônico.