26 a Questão Mostre que \frac{d}{d x}\left(\cos ^{-1} x\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{d}{d x}\left(\cos^{-1} x\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Informações dadas que vamos usar:
\cos^{-1} x
é a função arco cosseno (a inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0,\pi]). Logo, para entradas válidas temos x\in[-1,1] e a imagem \cos^{-1}x é um ângulo y com y\in[0,\pi]. Não resolvemos nada aqui ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados importantes.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação que facilita a diferenciação. Defina
y = \cos^{-1} x.
Isso significa, por definição da função inversa, que
\cos y = x.
Explicando devagar: escrever y=\cos^{-1}x quer dizer que y é o ângulo cujo cosseno é x. Como usamos a definição principal da arco cosseno, temos y\in[0,\pi].

Passo 3

Agora diferenciamos a igualdade \cos y = x em relação a x. Aqui usamos a regra da cadeia: se y depende de x, então a derivada de \cos(y(x)) é -\sin(y(x)) multiplicado por y'(x). Aplicando isso:
\frac{d}{dx}\big(\cos y\big)=\frac{d}{dx}(x).
Pelo lado esquerdo, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\cos y\big) = -\sin y\cdot\frac{dy}{dx}.
Pelo lado direito,
\frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 4

Juntando as derivadas obtemos a equação
-\sin y\cdot\frac{dy}{dx} = 1.
Agora isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}.
Esse é um passo de álgebra simples: dividimos ambos os lados por -\sin y. Até aqui temos a derivada em termos de y, mas queremos a derivada em termos de x.

Passo 5

Para trocar \sin y por uma expressão em x usamos a identidade trigonométrica fundamental:
\sin^{2}y + \cos^{2}y = 1.
Substituindo \cos y = x nessa identidade:
\sin^{2}y + x^{2} = 1.
Logo
\sin^{2}y = 1 - x^{2}.
Tomando raiz quadrada, obtemos
\sin y = \sqrt{1-x^{2}}\quad\text{ou}\quad\sin y = -\sqrt{1-x^{2}}.
Precisamos escolher o sinal correto: como y=\cos^{-1}x está no intervalo [0,\pi], o seno nesse intervalo é não negativo (isto é, \sin y\ge 0). Portanto escolhemos
\sin y = \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 6

Substituímos \sin y = \sqrt{1-x^{2}} na expressão obtida em \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Acabou: transformamos a derivada em função de x e justificamos o sinal positivo da raiz por causa do intervalo da arco cosseno.

Passo 7

Comentários finais e domínio: a fórmula
\frac{d}{dx}\left(\cos^{-1}x\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
vale para -1<x<1. Nos pontos x=\pm 1 a raiz no denominador fica zero e a derivada não existe (comportamento de singularidade vertical).

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

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