26 a Questão Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Informações dadas que vamos usar:
é a função arco cosseno (a inversa da função cosseno restrita ao intervalo
). Logo, para entradas válidas temos
e a imagem
é um ângulo
com
. Não resolvemos nada aqui ainda — só identifiquei o que o problema pede e os dados importantes.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação que facilita a diferenciação. Defina
Isso significa, por definição da função inversa, que
Explicando devagar: escrever
quer dizer que
é o ângulo cujo cosseno é
. Como usamos a definição principal da arco cosseno, temos
.
Passo 3
Agora diferenciamos a igualdade
em relação a
. Aqui usamos a regra da cadeia: se
depende de
, então a derivada de
é
multiplicado por
. Aplicando isso:
Pelo lado esquerdo, pela regra da cadeia,
Pelo lado direito,
Passo 4
Juntando as derivadas obtemos a equação
Agora isolamos
:
Esse é um passo de álgebra simples: dividimos ambos os lados por
. Até aqui temos a derivada em termos de
, mas queremos a derivada em termos de
.
Passo 5
Para trocar
por uma expressão em
usamos a identidade trigonométrica fundamental:
Substituindo
nessa identidade:
Logo
Tomando raiz quadrada, obtemos
Precisamos escolher o sinal correto: como
está no intervalo
, o seno nesse intervalo é não negativo (isto é,
). Portanto escolhemos
Passo 6
Substituímos
na expressão obtida em
:
Acabou: transformamos a derivada em função de
e justificamos o sinal positivo da raiz por causa do intervalo da arco cosseno.
Passo 7
Comentários finais e domínio: a fórmula
vale para
. Nos pontos
a raiz no denominador fica zero e a derivada não existe (comportamento de singularidade vertical).