Ache a inclinação da reta tangente a y(x) no ponto p .
y(x)=tan[x{2}+x{3}cos(x)], p=a
y(x)=tan[x{2}+x{3}cos(x)], p=a
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. A pergunta é: qual é a inclinação da reta tangente a
no ponto
?\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
O que precisamos entregar: o valor da inclinação da reta tangente em
, isto é, o valor de
.
Passo 2
Entendendo o que significa “inclinação da reta tangente”: a inclinação da reta tangente a uma curva no ponto
é o valor da derivada da função naquele ponto, ou seja
.\n
Explicando o conceito de derivada de forma simples: a derivada mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
. Na prática de prova, para funções compostas (uma função dentro de outra) usamos a regra da cadeia, e para produtos usamos a regra do produto. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Explicando o conceito de derivada de forma simples: a derivada
Passo 3
Primeiro identifiquemos a função exterior e a função interior (isso ajuda a aplicar a regra da cadeia). Defina
Então podemos escrever
A regra da cadeia diz que a derivada de uma composição
é
Aqui eu usei a fórmula básica: a derivada de
em relação a
é
. Explicando:
é
, então
.
Passo 4
Agora precisamos calcular
, onde
A função
é soma de duas parcelas:
e
. A derivada da soma é a soma das derivadas. Primeiro,
Isto vem da regra de potência: a derivada de
é
. Aqui
.
Passo 5
Agora derivamos a parcela
. Isso é um produto de
por
, então usamos a regra do produto: se
, então
.\n
Aplique:
Aplique:
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 6
Somando as derivadas das duas parcelas de
, obtemos
Ou escrevendo de forma organizada,
Expliquei antes de onde veio cada termo:
de
, e os outros dois do produto
.
Passo 7
Agora retornamos à expressão da derivada de
obtida pela regra da cadeia:
Substituindo
e
encontradas,
Se preferir, você também pode escrever
como
, ficando
Passo 8
Finalmente, a inclinação da reta tangente no ponto
é o valor de
em
. Basta substituir
na expressão de
. Assim,
Essa é a resposta final explícita; se quiser, pode fatorar
do segundo fator, mas não é necessário.