Ache a inclinação da reta tangente a y(x) no ponto p .
y(x)=tan[x{2}+x{3}cos(x)], p=a

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=\tan\bigl[x^{2}+x^{3}\cos(x)\bigr] e o ponto p=a. A pergunta é: qual é a inclinação da reta tangente a y(x) no ponto p?\n
Informações fornecidas:
y(x)=\tan\bigl[x^{2}+x^{3}\cos(x)\bigr],\qquad p=a.
O que precisamos entregar: o valor da inclinação da reta tangente em x=a, isto é, o valor de y'(a).

Passo 2

Entendendo o que significa “inclinação da reta tangente”: a inclinação da reta tangente a uma curva no ponto x=a é o valor da derivada da função naquele ponto, ou seja y'(a).\n
Explicando o conceito de derivada de forma simples: a derivada y'(x) mede a taxa de variação instantânea de y em relação a x. Na prática de prova, para funções compostas (uma função dentro de outra) usamos a regra da cadeia, e para produtos usamos a regra do produto. Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro identifiquemos a função exterior e a função interior (isso ajuda a aplicar a regra da cadeia). Defina
u(x)=x^{2}+x^{3}\cos(x).
Então podemos escrever
y(x)=\tan\bigl(u(x)\bigr).
A regra da cadeia diz que a derivada de uma composição y(x)=\tan(u(x)) é
y'(x)=\frac{d}{dx}\tan\bigl(u(x)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui eu usei a fórmula básica: a derivada de \tan(v) em relação a v é \operatorname{sec}^{2}(v). Explicando: \operatorname{sec}(v) é 1/\cos(v), então \operatorname{sec}^{2}(v)=1/\cos^{2}(v).

Passo 4

Agora precisamos calcular u'(x), onde
u(x)=x^{2}+x^{3}\cos(x).
A função u é soma de duas parcelas: x^{2} e x^{3}\cos(x). A derivada da soma é a soma das derivadas. Primeiro,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Isto vem da regra de potência: a derivada de x^{n} é nx^{n-1}. Aqui n=2.

Passo 5

Agora derivamos a parcela x^{3}\cos(x). Isso é um produto de x^{3} por \cos(x), então usamos a regra do produto: se v(x)=f(x)g(x), então v'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\n
Aplique:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\cos(x)\bigr) = \frac{d}{dx}(x^{3})\cdot\cos(x) + x^{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr).
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x).
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\cos(x)\bigr)=3x^{2}\cos(x) + x^{3}\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr)=3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x).

Passo 6

Somando as derivadas das duas parcelas de u(x), obtemos
u'(x)=2x + \bigl(3x^{2}\cos(x)-x^{3}\sin(x)\bigr).
Ou escrevendo de forma organizada,
u'(x)=2x + 3x^{2}\cos(x) - x^{3}\sin(x).
Expliquei antes de onde veio cada termo: 2x de x^{2}, e os outros dois do produto x^{3}\cos(x).

Passo 7

Agora retornamos à expressão da derivada de y obtida pela regra da cadeia:
y'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x) encontradas,
y'(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}+x^{3}\cos(x)\bigr)\,\bigl(2x + 3x^{2}\cos(x) - x^{3}\sin(x)\bigr).
Se preferir, você também pode escrever \operatorname{sec}^{2}(\cdot) como 1/\cos^{2}(\cdot), ficando
y'(x)=\frac{2x + 3x^{2}\cos(x) - x^{3}\sin(x)}{\cos^{2}\bigl(x^{2}+x^{3}\cos(x)\bigr)}.

Passo 8

Finalmente, a inclinação da reta tangente no ponto p=a é o valor de y'(x) em x=a. Basta substituir x=a na expressão de y'(x). Assim,
y'(a)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(a^{2}+a^{3}\cos(a)\bigr)\,\bigl(2a + 3a^{2}\cos(a) - a^{3}\sin(a)\bigr).
Essa é a resposta final explícita; se quiser, pode fatorar a do segundo fator, mas não é necessário.

Resposta

\displaystyle y'(a)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(a^{2}+a^{3}\cos(a)\bigr)\,\bigl(2a+3a^{2}\cos(a)-a^{3}\sin(a)\bigr)

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