21¹ Questão Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \longrightarrow 1} \frac{\pi \ln (x)}{\operatorname{sen}(\pi x)}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
\lim_{x\to 1} \frac{\pi \ln(x)}{\operatorname{sen}(\pi x)}.
Informações dadas relevantes:
  • A expressão do numerador é \pi \ln(x).
  • A expressão do denominador é \operatorname{sen}(\pi x).
  • Ao fazer substituição direta em x=1 obtemos \ln(1)=0 e \operatorname{sen}(\pi)=0, ou seja a forma é 0/0 (indeterminada).
  • A função \ln(x) está definida e é diferenciável para x>0; portanto em torno de x=1 as funções envolvidas são diferenciáveis (o que permite usar ferramentas de diferenciação para resolver o limite).

Passo 2

Explicando a ferramenta que vamos usar (L’Hôpital), sem pressa: quando uma razão de duas funções tende a uma forma indeterminada 0/0 (ou \infty/\infty), e se os numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto talvez no próprio ponto), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do quociente das derivadas exista (ou seja \pm\infty). Aqui tanto \pi\ln(x) quanto \operatorname{sen}(\pi x) são diferenciáveis perto de x=1, e a forma é 0/0, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculemos as derivadas necessárias passo a passo.
Derivada do numerador f(x)=\pi\ln(x):
  • A constante \pi sai multiplicando.
  • A derivada de \ln(x) é 1/x.
    Portanto
f'(x)=\pi\cdot\frac{1}{x}=\frac{\pi}{x}.
Derivada do denominador g(x)=\operatorname{sen}(\pi x):
  • Aqui usamos a regra da cadeia: se h(x)=\operatorname{sen}(u(x)) então h'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
  • No nosso caso u(x)=\pi x e u'(x)=\pi.
    Logo
g'(x)=\cos(\pi x)\cdot \pi = \pi\cos(\pi x).

Passo 4

Aplicando L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
\lim_{x\to 1}\frac{\pi\ln(x)}{\operatorname{sen}(\pi x)} =\lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 1}\frac{\frac{\pi}{x}}{\pi\cos(\pi x)}.
Agora simplificamos a expressão: como há \pi no numerador e no denominador, podemos cancelar \pi:
\frac{\frac{\pi}{x}}{\pi\cos(\pi x)}=\frac{1}{x\cos(\pi x)}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite por substituição direta (a expressão resultante é contínua em x=1):
  • Substituindo x=1 em \cos(\pi x) obtemos \cos(\pi)= -1.
    Logo
\lim_{x\to 1}\frac{1}{x\cos(\pi x)}=\frac{1}{1\cdot (-1)}=-1.
Como alternativa rápida (intuição): usando x=1+t com t\to0, \ln(1+t)\sim t e \operatorname{sen}(\pi(1+t))=\operatorname{sen}(\pi+\pi t)=-\operatorname{sen}(\pi t)\sim -\pi t; substituindo na razão dá \pi\cdot t /(-\pi t)=-1, concordando com o resultado acima.

Resposta

-1

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