21¹ Questão Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor do limite
Informações dadas relevantes:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - Ao fazer substituição direta em
obtemos e , ou seja a forma é (indeterminada). - A função
está definida e é diferenciável para ; portanto em torno de as funções envolvidas são diferenciáveis (o que permite usar ferramentas de diferenciação para resolver o limite).
Passo 2
Explicando a ferramenta que vamos usar (L’Hôpital), sem pressa: quando uma razão de duas funções tende a uma forma indeterminada
(ou
), e se os numerador e denominador são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto talvez no próprio ponto), então
desde que o limite do quociente das derivadas exista (ou seja
). Aqui tanto
quanto
são diferenciáveis perto de
, e a forma é
, então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Calculemos as derivadas necessárias passo a passo.
Derivada do numerador
:
- A constante
sai multiplicando. - A derivada de
é .
Portanto
Derivada do denominador
:
- Aqui usamos a regra da cadeia: se
então . - No nosso caso
e .
Logo
Passo 4
Aplicando L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
Agora simplificamos a expressão: como há
no numerador e no denominador, podemos cancelar
:
Passo 5
Agora avaliamos o limite por substituição direta (a expressão resultante é contínua em
):
- Substituindo
em obtemos .
Logo
Como alternativa rápida (intuição): usando
com
,
e
; substituindo na razão dá
, concordando com o resultado acima.