2.26 Resolva a equação diferencial do movimento do oscilador harmônico sujeito a uma força amortecida da forma
Fe x t=F0 e^-alpha t cos (omega t)

Passo 1

Beleza, o exercício manda resolver a equação do oscilador harmônico que não tem amortecimento “intrínseco” (sem termo em m,ddot x + k,x = F0,e^-alpha tcos(omega t) ), mas que recebe uma força externa que decai exponencialmente:
Conteúdo: é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e forçamento. Pra resolver, precisamos achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular que “cancele” esse forçamento amortecido.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea:
m,ddot x + k,x = 0
A equação característica é
m,r^2 + k = 0Longrightarrow r = pm iomega0, omega0=raiztfrackm
Logo a solução homogênea é
xh(t)=C1cos(omega0 t)+C2sin(omega0 t)

Passo 3

Agora a parte particular. Como a força é xp(t)=e^-alpha tl(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r) , a gente chuta
dot xp=e^-alpha tl[(-alpha A+omega B)cosomega t+(-omega A-alpha B)sinomega tr],
Aí calculamos derivadas:
ddot xp=e^-alpha tl[l((alpha^2-omega^2)A-2alphaomega Br)cosomega t +l((alpha^2-omega^2)B+2alphaomega Ar)sinomega tr]

Passo 4

Substituindo em l[m(alpha^2-omega^2)+kr]A-2malphaomega,B=F0, e agrupando l[m(alpha^2-omega^2)+kr]B+2malphaomega,A=0 e A=F0,DD^2+(2malphaomega)^2, B=-,2malphaomega,F0D^2+(2malphaomega)^2 , obtemos o sistema
Chamando , resolve-se

Resposta

Juntando tudo, a solução geral é
x(t)=C1cos(omega0 t)+C2sin(omega0 t) +;e^-alpha tl(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r),
com
D=m(alpha^2-omega^2)+k, A=F0,DD^2+(2malphaomega)^2, B=-2malphaomega,F0D^2+(2malphaomega)^2

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