27 Ache as coordenadas do vetor v=(2,3) do R^2 relativas à base e1=(1,-1) e e2=(3,5).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(2,3) como combinação linear dos vetores da base
e1=(1,-1), e2=(3,5)
Ou seja, encontrar escalares a e b tais que
v = a,e1 + b,e2
Esse conteúdo envolve resolver um sistema linear 2times 2.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear, temos
a,(1,-1) ;+; b,(3,5) ;=;(2,3)
Comparando componentes, obtemos o sistema
a + 3b = 2, -,a + 5b = 3

Passo 3

Para resolver por substituição, isolamos a na primeira equação:
a = 2 - 3b
Substituindo na segunda:
-,(2 - 3b) + 5b = 3 Longrightarrow -2 + 3b + 5b = 3 Longrightarrow 8b = 5 Longrightarrow b = tfrac58

Passo 4

Voltando em a = 2 - 3b, temos
a = 2 - 3cdottfrac58 = 2 - tfrac158 = tfrac168 - tfrac158 = tfrac18

Resposta

As coordenadas de v na base e1,e2 são
l(tfrac18,tfrac58r)

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