fique com o centro no ponto
, precisamos executar uma mudança de coordenadas dada por
Determine
e
.
Dicas:
- Denote o centro da parábola original por
.
- Denote o novo centro por
.
- Use as coordenadas do vetor
, que começa em
e termina em
, para realizar a transformação.
Dicas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação do tipo
. O objetivo é mudar as coordenadas de modo que o centro dessa parábola fique no ponto
. Para isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que desloca o sistema original para o novo centro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o conteúdo da matéria que vamos precisar: completar o quadrado e mudança de coordenadas. Completar o quadrado vai nos ajudar a reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação do centro, e a mudança de coordenadas vai deslocar esse centro para o ponto desejado.
Passo 3
Vamos começar rearranjando a equação para facilitar o completar o quadrado em relação a
. A equação dada é:
Vamos agrupar os termos de
:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é 24, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Passo 5
Vamos isolar o termo quadrático:
Passo 6
Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da parábola que abre para o lado esquerdo ou direito. A forma padrão é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:
Portanto, o centro original da parábola é o ponto
.
Passo 7
Queremos que o novo centro seja
. Para encontrar a mudança de coordenadas, usamos as fórmulas dadas:
Onde
é o deslocamento necessário para passar de
para
.
Passo 8
Calculando os valores de
e
:
Resposta
Os valores são
e
.