26 x+y^2+24 y+222=0
fique com o centro no ponto (-9,-2), precisamos executar uma mudança de coordenadas dada por
l x=x^prime-a y=y^prime-b
Determine a e b.
square
square
Dicas:
  1. Denote o centro da parábola original por A.
  2. Denote o novo centro por B.
  3. Use as coordenadas do vetor v, que começa em A e termina em B, para realizar a transformação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação do tipo . O objetivo é mudar as coordenadas de modo que o centro dessa parábola fique no ponto . Para isso, vamos usar uma mudança de coordenadas que desloca o sistema original para o novo centro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o conteúdo da matéria que vamos precisar: completar o quadrado e mudança de coordenadas. Completar o quadrado vai nos ajudar a reescrever a equação de uma forma que facilite a identificação do centro, e a mudança de coordenadas vai deslocar esse centro para o ponto desejado.

Passo 3

Vamos começar rearranjando a equação para facilitar o completar o quadrado em relação a 26x + y^2 + 24y + 222 = 0 . A equação dada é:
y^2 + 24y = -26x - 222
Vamos agrupar os termos de :

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (242)^2 = 12^2 = 144 . Para isso, pegamos o coeficiente de y^2 + 24y + 144 - 144 = -26x - 222 , que é 24, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(y + 12)^2 - 144 = -26x - 222
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:

Passo 5

Vamos isolar o termo quadrático:
(y + 12)^2 = -26x - 222 + 144
(y + 12)^2 = -26x - 78

Passo 6

Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da parábola que abre para o lado esquerdo ou direito. A forma padrão é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Comparando com a nossa equação:
(y + 12)^2 = -26(x + 3)
Podemos identificar que:
h = -3 e k = -12
Portanto, o centro original da parábola é o ponto .

Passo 7

Queremos que o novo centro seja x = x' - a y = y' - b . Para encontrar a mudança de coordenadas, usamos as fórmulas dadas:
Onde é o deslocamento necessário para passar de para .

Passo 8

Calculando os valores de a = h' - h = -9 - (-3) = -6 e b = k' - k = -2 - (-12) = 10 :

Resposta

Os valores são e .

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