Retas tangentes a curvas espaciais
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado.
Superfícies: x^3+3 x^2 y^2+y^3+4 x y-z^2=0,
x^2+y^2+z^2=11
Ponto:
(1,1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta tangente à curva de interseção de duas superfícies no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produtos vetoriais, que ajudam a encontrar direções de tangência em curvas que são interseções de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas superfícies:
  1. nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z )
Para encontrar a reta tangente, precisamos calcular os vetores normais a cada superfície no ponto dado. Esses vetores normais são os gradientes das funções que definem as superfícies.
Vamos chamar:
O gradiente de é dado por:
E o mesmo para .

Passo 3

Vamos calcular os gradientes no ponto partial Fpartial x = 3x^2 + 6xy^2 + 4y partial Fpartial y = 6x^2y + 3y^2 + 4x partial Fpartial z = -2z :
Para nabla F(1,1,3) = (3(1)^2 + 6(1)(1)^2 + 4(1), 6(1)^2(1) + 3(1)^2 + 4(1), -2(3)) = (3 + 6 + 4, 6 + 3 + 4, -6) = (13, 13, -6) :
partial Gpartial x = 2x partial Gpartial y = 2y partial Gpartial z = 2z
Substituindo nabla G(1,1,3) = (2(1), 2(1), 2(3)) = (2, 2, 6) :
Para :
Substituindo :

Passo 4

Agora, para encontrar a direção da reta tangente, fazemos o produto vetorial dos gradientes v = nabla F times nabla G = i & j & k 13 & 13 & -6 2 & 2 & 6 e v = i(13 cdot 6 - (-6) cdot 2) - j(13 cdot 6 - (-6) cdot 2) + k(13 cdot 2 - 13 cdot 2) = i(78 + 12) - j(78 + 12) + k(26 - 26) = i(90) - j(90) + k(0) :
v = (1, -1, 0)
Calculando o determinante:
Então, . Podemos simplificar esse vetor dividindo por 90:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:
x = 1 + t y = 1 - t z = 3
onde é o parâmetro.

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