Retas tangentes a curvas espaciais
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta tangente à curva de interseção das superfícies no ponto determinado.
Superfícies: ,
Ponto:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta tangente à curva de interseção de duas superfícies no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produtos vetoriais, que ajudam a encontrar direções de tangência em curvas que são interseções de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas superfícies:
Para encontrar a reta tangente, precisamos calcular os vetores normais a cada superfície no ponto dado. Esses vetores normais são os gradientes das funções que definem as superfícies.
Vamos chamar:
O gradiente de é dado por:
E o mesmo para .
Passo 3
Vamos calcular os gradientes no ponto :
Para :
Substituindo :
Para :
Substituindo :
Passo 4
Agora, para encontrar a direção da reta tangente, fazemos o produto vetorial dos gradientes e :
Calculando o determinante:
Então, . Podemos simplificar esse vetor dividindo por 90: