[26pts] Encontre o número de todas as matrizes 2 \times 2 ortogonais da forma \left[\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & x \\\ y & z\end{array}\right] e exibe-as.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o número de matrizes 2\times2 ortogonais da forma
\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & x \\[4pt] y & z\end{array}\right]
e exibi-las. Informações dadas:
A entrada superior esquerda já é \dfrac{1}{3}.
As entradas x,y,z são números reais desconhecidos que devem ser determinados.
A condição imposta é que a matriz seja ortogonal (ou seja, satisfaz \,Q^{T}Q=I).]
Passo 2
Lembrete prático sobre matrizes ortogonais (aula rápida e divertida): uma matriz Q é ortogonal quando suas colunas formam um sistema ortonormal. Isso significa duas coisas para as colunas \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2:
Cada coluna tem norma 1: \|\mathbf{c}_1\|=1 e \|\mathbf{c}_2\|=1.
As colunas são ortogonais entre si: \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_2=0.
Se escrevemos a matriz dada como
Q=\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & x \\[4pt] y & z\end{array}\right],
então a primeira coluna é \mathbf{c}_1=\left(\dfrac{1}{3},\,y\right) e a segunda é \mathbf{c}_2=(x,\,z). Usaremos as duas condições acima para obter equações para x,y,z.]
Como y^{2}=\dfrac{8}{9} tem-se \dfrac{1}{3}+3y^{2}=3, logo \det Q = 3z. Como z=\pm\dfrac{1}{3}, \det Q=\pm1, o que confirma que todas as quatro matrizes são realmente ortogonais (duas têm determinante 1 e duas têm determinante -1).