[26pts] Encontre o número de todas as matrizes 2 \times 2 ortogonais da forma \left[\begin{array}{ll}\frac{1}{3} & x \\\ y & z\end{array}\right] e exibe-as.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o número de matrizes 2\times2 ortogonais da forma
\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & x \\[4pt] y & z\end{array}\right]
e exibi-las. Informações dadas:
  • A entrada superior esquerda já é \dfrac{1}{3}.
  • As entradas x,y,z são números reais desconhecidos que devem ser determinados.
  • A condição imposta é que a matriz seja ortogonal (ou seja, satisfaz \,Q^{T}Q=I).]

Passo 2

Lembrete prático sobre matrizes ortogonais (aula rápida e divertida): uma matriz Q é ortogonal quando suas colunas formam um sistema ortonormal. Isso significa duas coisas para as colunas \mathbf{c}_1 e \mathbf{c}_2:
  1. Cada coluna tem norma 1: \|\mathbf{c}_1\|=1 e \|\mathbf{c}_2\|=1.
  2. As colunas são ortogonais entre si: \mathbf{c}_1\cdot\mathbf{c}_2=0.
Se escrevemos a matriz dada como
Q=\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & x \\[4pt] y & z\end{array}\right],
então a primeira coluna é \mathbf{c}_1=\left(\dfrac{1}{3},\,y\right) e a segunda é \mathbf{c}_2=(x,\,z). Usaremos as duas condições acima para obter equações para x,y,z.]

Passo 3

Norma da primeira coluna igual a 1. Escrevendo:
\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+y^{2}=1.
Agora resolvemos passo a passo:
\dfrac{1}{9}+y^{2}=1
y^{2}=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{9}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}.
Portanto
y=\pm\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
Ou seja, y tem exatamente duas possibilidades: y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} ou y=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Ortogonalidade entre colunas (produto escalar zero):
\left(\dfrac{1}{3}\right)\!x + y z =0.
Isolando x:
\dfrac{x}{3} = -y z \quad\Rightarrow\quad x=-3yz.
Isso nos dá x em função de y e z. Como já encontramos as duas possibilidades para y, x dependerá do sinal de y e do valor (sinal) de z.

Passo 5

Norma da segunda coluna igual a 1:
x^{2}+z^{2}=1.
Substituímos x=-3yz nessa equação:
(-3yz)^{2}+z^{2}=1
9y^{2}z^{2}+z^{2}=1
z^{2}\bigl(9y^{2}+1\bigr)=1.
Agora usamos y^{2}=\dfrac{8}{9} (do Passo 3):
9\cdot\dfrac{8}{9}+1=8+1=9.
Logo
z^{2}\cdot 9 = 1 \quad\Rightarrow\quad z^{2}=\dfrac{1}{9},
portanto
z=\pm\dfrac{1}{3}.
Concluímos que z tem duas possibilidades: z=\dfrac{1}{3} ou z=-\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Agora combinamos as opções de y e z e calculamos x=-3yz em cada caso. Lembre-se que y=\pm\dfrac{2\sqrt{2}}{3} e z=\pm\dfrac{1}{3}.
Caso A: y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} e z=\dfrac{1}{3}.
x=-3\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Caso B: y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} e z=-\dfrac{1}{3}.
x=-3\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Caso C: y=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3} e z=\dfrac{1}{3}.
x=-3\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Caso D: y=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3} e z=-\dfrac{1}{3}.
x=-3\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Assim temos quatro matrizes distintas correspondentes às quatro combinações de sinais.

Passo 7

Opcional — checagem rápida do determinante para ver que temos rototranslações/reflexões: usando x=-3yz pode-se mostrar
\det Q = \dfrac{1}{3}z - xy = z\biggl(\dfrac{1}{3}+3y^{2}\biggr).
Como y^{2}=\dfrac{8}{9} tem-se \dfrac{1}{3}+3y^{2}=3, logo \det Q = 3z. Como z=\pm\dfrac{1}{3}, \det Q=\pm1, o que confirma que todas as quatro matrizes são realmente ortogonais (duas têm determinante 1 e duas têm determinante -1).

Resposta

\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[6pt] \dfrac{2\sqrt{2}}{3} & \dfrac{1}{3}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[6pt] \dfrac{2\sqrt{2}}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[6pt] -\dfrac{2\sqrt{2}}{3} & \dfrac{1}{3}\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[6pt] -\dfrac{2\sqrt{2}}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{array}\right]

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