Verifique se a matriz A é diagonalizável nos casos abaixo:
A=\left(\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para verificar se A é diagonalizável.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 2\times2.
  • A única pergunta é: A é diagonalizável? (interpretar sobre qual corpo — veremos isso.)]

Passo 2

O que significa ser diagonalizável (explicação curta e prática):
  • Uma matriz n\times n é diagonalizável sobre um corpo K se existe uma base de K^n composta por autovetores de A.
  • Na prática, isso equivale a existir uma matriz invertível P com entradas em K tal que P^{-1}AP=D, onde D é diagonal com autovalores de A na diagonal.
  • Critério prático para 2\times2: se os dois autovalores (contando multiplicidade algébrica) são distintos no corpo K, então A é diagonalizável sobre K. Se há apenas um autovalor algébrico com multiplicidade 2, é preciso verificar a multiplicidade geométrica (nº de autovetores independentes).
Vou calcular o polinômio característico para obter os autovalores.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I):
\chi_A(\lambda)=\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\cdot 2.
Desenvolvendo:
(3-\lambda)(1-\lambda)=\lambda^2-4\lambda+3,
portanto
\chi_A(\lambda)=\lambda^2-4\lambda+3+4=\lambda^2-4\lambda+7.
Resolver \chi_A(\lambda)=0:
\lambda=\frac{4\pm\sqrt{16-28}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-12}}{2}=2\pm i\sqrt{3}.
Conclusão desta etapa:
  • Os autovalores são \lambda_1=2+i\sqrt{3} e \lambda_2=2-i\sqrt{3}.
  • Esses autovalores são distintos, mas são complexos (não reais).]

Passo 4

Interpretação sobre o corpo (explicitação importante para a prova):
  • Sobre o corpo \mathbb{R}: os autovalores não pertencem a \mathbb{R}, logo não há autovetores reais associados a autovalores reais; portanto não é possível diagonalizar A por semelhança com uma matriz diagonal real. Conclusão provisória: não diagonalizável sobre \mathbb{R}.
  • Sobre o corpo \mathbb{C}: os autovalores aparecem em \mathbb{C} e são distintos, então a matriz será diagonalizável sobre \mathbb{C}. Vou mostrar explicitamente os autovetores complexos para ver como montar a diagonalização.

Passo 5

Encontrar autovetores (detalhar o cálculo para um dos autovalores; o outro será conjugado):
Tomemos \lambda_1=2+i\sqrt{3}. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}3-(2+i\sqrt{3}) & -2\\[4pt] 2 & 1-(2+i\sqrt{3})\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=0.
Simplificando os coeficientes:
\begin{pmatrix}1-i\sqrt{3} & -2\\[4pt] 2 & -1-i\sqrt{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt] y\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação obtemos
(1-i\sqrt{3})x-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\,x.
Para evitar frações escolhemos x=2. Então
y=1-i\sqrt{3}.
Um autovetor correspondente é, por exemplo,
v_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 1-i\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2-i\sqrt{3} o cálculo é análogo e o autovetor pode ser tomado como o conjugado de v_1:
v_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 1+i\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificar independência linear dos autovetores (sobre \mathbb{C}):
  • Como \lambda_1\neq\lambda_2, autovetores associados a autovalores distintos são automaticamente linearmente independentes. Logo \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{C}^2 composta por autovetores.
  • Assim existe P=[v_1\\ v_2] invertível em \mathbb{C}^{2\times2} e D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2) tal que P^{-1}AP=D.
Conclusões finais:
  • Sobre \mathbb{C}: A é diagonalizável (autovalores distintos 2\pm i\sqrt{3}, dois autovetores independentes v_1,v_2).
  • Sobre \mathbb{R}: A não é diagonalizável por semelhança com matriz diagonal real, pois não tem autovalores reais.

Resposta

Sobre \mathbb{R}: A não é diagonalizável.
Sobre \mathbb{C}: A é diagonalizável; autovalores \lambda=2\pm i\sqrt{3} com autovetores v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\mp i\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

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