Verifique se a matriz A é diagonalizável nos casos abaixo: A=\left(\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para verificar se A é diagonalizável.
Informações relevantes dadas:
A matriz A é 2\times2.
A única pergunta é: A é diagonalizável? (interpretar sobre qual corpo — veremos isso.)]
Passo 2
O que significa ser diagonalizável (explicação curta e prática):
Uma matriz n\times n é diagonalizável sobre um corpo K se existe uma base de K^n composta por autovetores de A.
Na prática, isso equivale a existir uma matriz invertível P com entradas em K tal que P^{-1}AP=D, onde D é diagonal com autovalores de A na diagonal.
Critério prático para 2\times2: se os dois autovalores (contando multiplicidade algébrica) são distintos no corpo K, então A é diagonalizável sobre K. Se há apenas um autovalor algébrico com multiplicidade 2, é preciso verificar a multiplicidade geométrica (nº de autovetores independentes).
Vou calcular o polinômio característico para obter os autovalores.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I):
Os autovalores são \lambda_1=2+i\sqrt{3} e \lambda_2=2-i\sqrt{3}.
Esses autovalores são distintos, mas são complexos (não reais).]
Passo 4
Interpretação sobre o corpo (explicitação importante para a prova):
Sobre o corpo \mathbb{R}: os autovalores não pertencem a \mathbb{R}, logo não há autovetores reais associados a autovalores reais; portanto não é possível diagonalizar A por semelhança com uma matriz diagonal real. Conclusão provisória: não diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Sobre o corpo \mathbb{C}: os autovalores aparecem em \mathbb{C} e são distintos, então a matriz será diagonalizável sobre \mathbb{C}. Vou mostrar explicitamente os autovetores complexos para ver como montar a diagonalização.
Passo 5
Encontrar autovetores (detalhar o cálculo para um dos autovalores; o outro será conjugado):
Tomemos \lambda_1=2+i\sqrt{3}. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0, isto é
Verificar independência linear dos autovetores (sobre \mathbb{C}):
Como \lambda_1\neq\lambda_2, autovetores associados a autovalores distintos são automaticamente linearmente independentes. Logo \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{C}^2 composta por autovetores.
Assim existe P=[v_1\\ v_2] invertível em \mathbb{C}^{2\times2} e D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2) tal que P^{-1}AP=D.
Conclusões finais:
Sobre \mathbb{C}: A é diagonalizável (autovalores distintos 2\pm i\sqrt{3}, dois autovetores independentes v_1,v_2).
Sobre \mathbb{R}: A não é diagonalizável por semelhança com matriz diagonal real, pois não tem autovalores reais.
Resposta
Sobre \mathbb{R}: A não é diagonalizável.
Sobre \mathbb{C}: A é diagonalizável; autovalores \lambda=2\pm i\sqrt{3} com autovetores v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\mp i\sqrt{3}\end{pmatrix}.]