Em cada item determine se a proposição é falsa ou verdadeira e justifique com uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se S: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} um operador linear tal que S^{2}=i d. Então seus únicos autovalores são 1 \mathrm{e}-1.

Passo 1

O enunciado fornece a aplicação linear S:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} tal que S^{2}=\mathrm{Id}. A pergunta é: “Os únicos autovalores de S são 1 e -1?”\n
Informações dadas:
  • S é linear;
  • S^{2}=\mathrm{Id} (ou seja, S\circ S=\mathrm{Id});
  • o espaço é \mathbb{R}^{n}.\n
    O que se pede: decidir se a proposição "os únicos autovalores de S são 1 e -1" é verdadeira ou falsa e justificar com demonstração (ou contra-exemplo).

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é autovalor/autovetor de forma simples e direta. Seja v\in\mathbb{R}^{n} um vetor não nulo. Dizemos que v é autovetor de S associado ao autovalor \lambda se
S(v)=\lambda v.
Aqui \lambda é um número (do campo base, que é \mathbb{R} neste caso, mas a relação também vale se considerarmos extensões complexas). O objetivo inicial é ver que quaisquer autovalores devem satisfazer uma certa equação simples.

Passo 3

Se v\neq 0 é autovetor com autovalor \lambda, aplicamos S duas vezes e usamos S^{2}=\mathrm{Id}:
S^{2}(v)=S(S(v))=S(\lambda v)=\lambda S(v)=\lambda(\lambda v)=\lambda^{2}v.
Por outro lado, como S^{2}=\mathrm{Id},
S^{2}(v)=\mathrm{Id}(v)=v.
Comparando as duas expressões para S^{2}(v) obtemos
\lambda^{2}v=v.
Como v\neq 0, podemos cancelar v na igualdade (ou, mais formalmente, concluir que \lambda^{2}=1). Logo
\lambda^{2}=1\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm 1.
Portanto, qualquer autovalor (se existir) deve ser 1 ou -1. Isto mostra que não existe nenhum autovalor diferente de 1 ou -1.

Passo 4

Ainda falta argumentar que, além de não poderem existir autovalores diferentes de \pm1, na prática a estrutura de S é muito simples: S é diagonalizável com blocos correspondentes a autovalores 1 e -1. Vou construir de maneira elementar as projeções sobre os espaços próprios para 1 e -1, o que expõe claramente a decomposição do espaço em autovetores.
Defina as transformações lineares
P=\frac{1}{2}\bigl(\mathrm{Id}+S\bigr), \qquad Q=\frac{1}{2}\bigl(\mathrm{Id}-S\bigr).
Mostro propriedades úteis de P e Q:
  1. P e Q são projeções:
P^{2}=\frac{1}{4}(\mathrm{Id}+S)(\mathrm{Id}+S)=\frac{1}{4}(\mathrm{Id}+2S+S^{2}) =\frac{1}{4}(\mathrm{Id}+2S+\mathrm{Id})=\frac{1}{2}(\mathrm{Id}+S)=P.
A mesma conta para Q Q^{2}=Q.
  1. PQ=0:
PQ=\frac{1}{4}(\mathrm{Id}+S)(\mathrm{Id}-S)=\frac{1}{4}(\mathrm{Id}-S^{2})=\frac{1}{4}(\mathrm{Id}-\mathrm{Id})=0.
  1. P+Q=\mathrm{Id} (pela definição) e P,Q são lineares. Assim, para todo v\in\mathbb{R}^{n} tem-se a decomposição
v=Pv+Qv,
com Pv\in\operatorname{Im}P e Qv\in\operatorname{Im}Q.
  1. Verificar a ação de S nas imagens:
S(Pv)=S\Bigl(\frac{1}{2}(v+S(v))\Bigr)=\frac{1}{2}\bigl(S(v)+S^{2}(v)\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(S(v)+v\bigr)=Pv,
portanto S atua como identidade em \operatorname{Im}P. Analogamente,
S(Qv)=S\Bigl(\frac{1}{2}(v-S(v))\Bigr)=\frac{1}{2}\bigl(S(v)-S^{2}(v)\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(S(v)-v\bigr)=-Qv,
logo S atua como -\mathrm{Id} em \operatorname{Im}Q.
Dessas propriedades segue que
\mathbb{R}^{n}=\operatorname{Im}P\oplus\operatorname{Im}Q,
e em bases adaptadas a essa soma direta a matriz de S é diagonal com entradas 1 (na parte correspondente a \operatorname{Im}P) e -1 (na parte correspondente a \operatorname{Im}Q). Em outras palavras, S é diagonalizável e os únicos autovalores possíveis são 1 e -1.

Passo 5

Resumo intuitivo (pra prova): a relação S^{2}=\mathrm{Id} força qualquer autovalor \lambda a satisfazer \lambda^{2}=1, logo \lambda=\pm1. A construção das projeções P=\tfrac{1}{2}(\mathrm{Id}+S) e Q=\tfrac{1}{2}(\mathrm{Id}-S) mostra ainda que todo vetor se escreve como soma de um vetor próprio de autovalor 1 e um de autovalor -1, provando que não há outros autovalores e que a decomposição é completa.

Resposta

Verdadeira.

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