Em cada item determine se a proposição é falsa ou verdadeira e justifique com uma demonstração ou um contra-exemplo.
Se
um operador linear tal que
. Então seus únicos autovalores são
.
Se
Passo 1
O enunciado fornece a aplicação linear
tal que
. A pergunta é: “Os únicos autovalores de
são
e
?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é linear; -
(ou seja, ); - o espaço é
.\n
O que se pede: decidir se a proposição "os únicos autovalores desão e " é verdadeira ou falsa e justificar com demonstração (ou contra-exemplo).
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é autovalor/autovetor de forma simples e direta. Seja
um vetor não nulo. Dizemos que
é autovetor de
associado ao autovalor
se
Aqui
é um número (do campo base, que é
neste caso, mas a relação também vale se considerarmos extensões complexas). O objetivo inicial é ver que quaisquer autovalores devem satisfazer uma certa equação simples.
Passo 3
Se
é autovetor com autovalor
, aplicamos
duas vezes e usamos
:
Por outro lado, como
,
Comparando as duas expressões para
obtemos
Como
, podemos cancelar
na igualdade (ou, mais formalmente, concluir que
). Logo
Portanto, qualquer autovalor (se existir) deve ser
ou
. Isto mostra que não existe nenhum autovalor diferente de
ou
.
Passo 4
Ainda falta argumentar que, além de não poderem existir autovalores diferentes de
, na prática a estrutura de
é muito simples:
é diagonalizável com blocos correspondentes a autovalores
e
. Vou construir de maneira elementar as projeções sobre os espaços próprios para
e
, o que expõe claramente a decomposição do espaço em autovetores.
Defina as transformações lineares
Mostro propriedades úteis de
e
:
-
e são projeções:
A mesma conta para
dá
.
-
:
-
(pela definição) e são lineares. Assim, para todo tem-se a decomposição
com
e
.
- Verificar a ação de
nas imagens:
portanto
atua como identidade em
. Analogamente,
logo
atua como
em
.
Dessas propriedades segue que
e em bases adaptadas a essa soma direta a matriz de
é diagonal com entradas
(na parte correspondente a
) e
(na parte correspondente a
). Em outras palavras,
é diagonalizável e os únicos autovalores possíveis são
e
.
Passo 5
Resumo intuitivo (pra prova): a relação
força qualquer autovalor
a satisfazer
, logo
. A construção das projeções
e
mostra ainda que todo vetor se escreve como soma de um vetor próprio de autovalor
e um de autovalor
, provando que não há outros autovalores e que a decomposição é completa.
Resposta
Verdadeira.