Seja A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & -3 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1\end{array}\right).
(a) Determine o polinômio característico de A.
(b) Determine os autovalores de A.
(c) Exiba uma base de autovetores para a matriz A.
Informações úteis dadas explicitamente na matriz (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
O bloco superior esquerdo 2\times2 é \displaystyle B=\begin{pmatrix}4 & -3\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
O bloco inferior direito 2\times2 é \displaystyle D=\begin{pmatrix}-4 & 3\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
O bloco superior direito 2\times2 (chamemos de C) é \displaystyle C=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
O bloco inferior esquerdo é a matriz zero 2\times2.]
Passo 2
Observação sobre a forma da matriz (explicação do método que vou usar, com detalhes didáticos).
A=\begin{pmatrix}B & C\\[4pt]0 & D\end{pmatrix},
ou seja, A é uma matriz blocada triangular inferiormente (o bloco inferior esquerdo é zero). Uma propriedade importante (fácil de demonstrar usando expansão de determinante por blocos) é:
Isto significa que o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos dos blocos diagonais B e D. Vou calcular cada um desses determinantes passo a passo.
Dos fatores obtidos no passo anterior tiramos os autovalores (raízes do polinômio característico):
\lambda=1 é raiz simples;
\lambda=2 é raiz de multiplicidade algébrica 2;
\lambda=-5 é raiz simples.
Ou seja, os autovalores de A são \{1,\,2,\,2,\,-5\}. A seguir vamos encontrar, para cada autovalor \lambda, os vetores não nulos v tais que (A-\lambda I_4)v=0. Vou usar a decomposição em blocos para resolver cada sistema de forma clara: escrevo v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} com x,y\in\mathbb{R}^2. A equação (A-\lambda I)v=0 fica
(B-\lambda I_2)x + C y = 0,\qquad (D-\lambda I_2)y=0.
Note que a segunda equação envolve apenas y; depois (B-\lambda I_2)x é ajustado por C y.]
obtemos da segunda linha 2y_1+0\cdot y_2=0\Rightarrow y_1=0. Substituindo na primeira linha dá -5\cdot 0 + 3y_2=0\Rightarrow y_2=0. Logo a única solução é y=0.
Com y=0, a primeira equação fica (B-I_2)x=0. Calculamos
O sistema \begin{pmatrix}3 & -3\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}x=0 dá a equação 3x_1-3x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Portanto os vetores x têm a forma x=t\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix} com t\neq 0. Tomando t=1 como representante, um autovetor para \lambda=1 é
Breve interpretação: como y obrigatoriamente é zero, o autovetor vive só no subespaço das duas primeiras coordenadas e é exatamente o vetor (1,1,0,0).]
Passo 5
Autovalor \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2). Vamos encontrar a base do espaço próprio \ker(A-2I).
Temos duas variáveis x_1,x_2 e um parâmetro s, por isso a solução é de dimensão dois (o que é bom, pois a multiplicidade algébrica de 2 é 2 e esperamos uma dimensão geométrica até 2). Vamos parametrizar livremente: escolha x_2=u e mantenha s livre; então
x_1=\frac{3}{2}(\,u-s\,).
Assim os vetores próprios associados a \lambda=2 são dados por
Esses dois vetores são linearmente independentes (têm padrões de coordenadas distintos; por exemplo v_{2}^{(1)} tem as duas últimas coordenadas nulas enquanto v_{2}^{(2)} não), e portanto formam uma base do espaço próprio de \lambda=2. Assim a multiplicidade geométrica de 2 é 2.]
B+5I_2=\begin{pmatrix}9 & -3\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix},\qquad C y = C\big(t\begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\end{pmatrix}\big)=t\begin{pmatrix}-2\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
Resolvendo esse sistema (por eliminação, por exemplo), subtrai-se para descobrir x_2:
multiplicando a segunda equação por \tfrac{9}{2} e subtraindo a primeira ou simplesmente resolver diretamente: da primeira 9x_1-3x_2=2t. Da segunda 2x_1+4x_2=2t. Eliminando 2t entre elas:
(isto corresponde a t=3, então y=3(-3,1)^T = (-9,3)^T e x=(1,1)^T.)]
Passo 7
Resumo e observação final sobre independência:
Para \lambda=1 encontramos um autovetor v_{1}=(1,1,0,0)^T.
Para \lambda=2 encontramos dois autovetores independentes v_{2}^{(1)}=(3,2,0,0)^T e v_{2}^{(2)}=(0,1,1,2)^T.
Para \lambda=-5 encontramos um autovetor v_{-5}=(1,1,-9,3)^T.
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+2+1=4, esses quatro autovetores são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^4 composta por autovetores de A. Em particular, A é diagonalizável e essa é uma base de autovetores.