27-34 Explique, usando os Teoremas 4,5,7 e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
g(v)=3 v-1v^2+2 v-15

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para explicar por que a função é contínua em todo número do seu domínio. Vamos utilizar os Teoremas 4, 5, 7 e 9 da continuidade para justificar essa afirmação. Além disso, vamos determinar qual é o domínio dessa função.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o domínio da função . O domínio de uma função racional como essa é composto por todos os valores de para os quais o denominador não é zero, já que divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Vamos encontrar os valores que anulam o denominador:
v^2 + 2v - 15 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
v = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-15)2 cdot 1 = -2 pm raiz642 = -2 pm 82
Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Assim, o domínio de Domínio = R setminus -5, 3 é todos os números reais exceto e :
í

Passo 5

Agora, vamos mostrar que é contínua em todo o seu domínio usando os seguintes teoremas:
  • Teorema 4: Operações básicas com funções contínuas resultam em funções contínuas. Especificamente, a soma, subtração e multiplicação de funções contínuas são contínuas.
  • Teorema 5: O quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero.
  • Teorema 7: Uma função composta de funções contínuas é contínua.
  • Teorema 9: Funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio.

Passo 6

Vamos analisar a função :
  • O numerador é um polinômio, e pelo Teorema 9, ele é contínuo em todo .
  • O denominador também é um polinômio, contínuo em todo .
  • Como o denominador não é zero no domínio , pelo Teorema 5, o quociente das duas funções contínuas também é contínuo onde o denominador não se anula.

Passo 7

Portanto, combinando todos esses teoremas, concluímos que a função é contínua em todo número do seu domínio, que já identificamos como sendo todos os números reais exceto e .

Resposta

A função é contínua para todo pertencente a exceto e . Ou seja, o domínio de é .

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