27-34 Explique, usando os Teoremas
e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para explicar por que a função
é contínua em todo número do seu domínio. Vamos utilizar os Teoremas 4, 5, 7 e 9 da continuidade para justificar essa afirmação. Além disso, vamos determinar qual é o domínio dessa função.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o domínio da função
. O domínio de uma função racional como essa é composto por todos os valores de
para os quais o denominador não é zero, já que divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Vamos encontrar os valores que anulam o denominador:
Resolvendo essa equação quadrática:
Portanto, as soluções são
e
.
Passo 4
Assim, o domínio de
é todos os números reais exceto
e
:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
é contínua em todo o seu domínio usando os seguintes teoremas:
-
Teorema 4: Operações básicas com funções contínuas resultam em funções contínuas. Especificamente, a soma, subtração e multiplicação de funções contínuas são contínuas.
-
Teorema 5: O quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador não é zero.
-
Teorema 7: Uma função composta de funções contínuas é contínua.
-
Teorema 9: Funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio.
Passo 6
Vamos analisar a função
:
-
O numerador
é um polinômio, e pelo Teorema 9, ele é contínuo em todo . -
O denominador
também é um polinômio, contínuo em todo . -
Como o denominador não é zero no domínio
, pelo Teorema 5, o quociente das duas funções contínuas também é contínuo onde o denominador não se anula.
Passo 7
Portanto, combinando todos esses teoremas, concluímos que a função
é contínua em todo número do seu domínio, que já identificamos como sendo todos os números reais exceto
e
.
Resposta
A função
é contínua para todo
pertencente a
exceto
e
. Ou seja, o domínio de
é
.