Questão 2. (2 pontos) Integral. Calcule a integral.
integral sin ^6 x cos ^3 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral integral sin^6 x cos^3 x , dx. Isso é uma integral envolvendo potências de seno e cosseno. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda quando a gente tem uma função dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, observamos que o cosseno está elevado a um expoente ímpar (3). Quando isso acontece, a gente pode separar uma parte do cosseno para facilitar a substituição. A gente sabe que cos^2x = 1 - sin^2x é uma identidade trigonométrica útil aqui.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando uma potência de cosseno:
integral sin^6 x cos^3 x , dx = integral sin^6 x cdot cos^2x cdot cos x , dx

Passo 4

Agora, substituímos cos^2x pela identidade trigonométrica mencionada:
integral sin^6x cdot (1 - sin^2x) cdot cos x , dx

Passo 5

Vamos fazer a substituição para simplificar. Seja u = sin x, então a derivada de u em relação a x é du = cos x , dx.

Passo 6

Com essa substituição, a integral fica:
integral u^6 cdot (1 - u^2) , du = integral (u^6 - u^8) , du

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral u^6 , du = u^77
e
integral u^8 , du = u^99

Passo 8

Juntando tudo, temos:
u^77 - u^99 + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

Substituindo u = sin x, a integral é:
sin^7x7 - sin^9x9 + C

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