Questão 2. (2 pontos) Integral. Calcule a integral.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Isso é uma integral envolvendo potências de seno e cosseno. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda quando a gente tem uma função dentro da outra.
Passo 2
Primeiro, observamos que o cosseno está elevado a um expoente ímpar (3). Quando isso acontece, a gente pode separar uma parte do cosseno para facilitar a substituição. A gente sabe que
é uma identidade trigonométrica útil aqui.
Passo 3
Vamos reescrever a integral separando uma potência de cosseno:
Passo 4
Agora, substituímos
pela identidade trigonométrica mencionada:
Passo 5
Vamos fazer a substituição para simplificar. Seja
, então a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Com essa substituição, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
e
Passo 8
Juntando tudo, temos:
onde
é a constante de integração.
Resposta
Substituindo
, a integral é: