l mu=P q-p^2 r^2 s ; p=x-2 y, r=xy^4 s=2 x y^3 / 2
partial upartial y

Passo 1

Estamos estudando derivadas parciais em funções compostas. Aqui a gente tem a função u(x,y) = Pq - p^2 r^2 s, com p = x - 2y, r = xy^4 e s = 2x y^3/2. Precisamos de partial upartial y.

Passo 2

Como Pq é constante (não depende de y), vale partial upartial y = -partialpartial y(p^2 r^2 s). Agora é hora de usar regra do produto e cadeia.

Passo 3

Para derivar p^2 r^2 s em relação a y, lembramos que, se f=AB C, então f' = A'BC + AB'C + ABC'. Aqui A = p^2, B = r^2 e C = s.

Passo 4

Primeiro calculemos as derivadas parciais simples: partial ppartial y = -2, partial rpartial y = -4xy^5 e partial spartial y = 3x y^1/2.
Pela regra da cadeia temos partial (p^2)partial y = 2ppartial ppartial y = -4p e partial (r^2)partial y = 2rpartial rpartial y = 2rl(-4xy^5r) = -8rxy^5.

Passo 5

Aplicando a regra do produto em p^2 r^2 s:
partial(p^2 r^2 s)partial y = (p^2)'r^2s + p^2(r^2)'s + p^2r^2s' = (-4p)r^2s + p^2l(-8rxy^5r)s + p^2r^2(3x y^1/2)

Passo 6

Agora substituímos p, r e s em cada termo e simplificamos em potências de x e y:
  • Primeiro termo = -4p r^2 s fica -8(x-2y)x^3y^-13/2).
  • Segundo termo = -8p^2rxy^5s fica -16(x-2y)^2x^3y^-15/2).
  • Terceiro termo = 3p^2r^2xy^1/2 fica 3(x-2y)^2x^3y^-15/2.
    Somando esses três dá
partial(p^2r^2s)partial y = -8(x-2y)x^3y^-13/2 -13(x-2y)^2x^3y^-15/2

Passo 7

Por fim, lembrando que partial upartial y = -partial(p^2r^2s)partial y, obtemos
partial upartial y = 8(x-2y)x^3y^-13/2 + 13(x-2y)^2x^3y^-15/2 = x^3(x-2y)y^-15/2(13x - 18y)

Resposta

partial upartial y = x^3(x-2y)y^-tfrac152(13x - 18y)

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