27-34 Explique, usando os Teoremas
e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em cada ponto do seu domínio e indicar qual é esse domínio. O conteúdo envolve: polinômios, exponencial, logaritmo, composição e produto de funções contínuas.
Passo 2
Para achar o domínio de
, note que o logaritmo natural exige argumento positivo. Como
para todo
, não há restrições adicionais. Logo, o domínio é
.
Passo 3
O termo
é um polinômio, assim, pelo Teorema 4 (polinômios são contínuos em
), temos
contínua em todo
. A função exponencial
é contínua em
pelo Teorema 7. Então, usando o Teorema 5 (composição de funções contínuas é contínua),
é contínua para todo
.
Passo 4
O polinômio
também é contínuo em
pelo Teorema 4 e satisfaz
. Como o logaritmo
é contínuo em
pelo Teorema 7, mais uma vez pelo Teorema 5, a composição
é contínua para todo
.
Passo 5
Finalmente, pelo Teorema 9 (produto de funções contínuas é contínuo onde ambas estão definidas), o produto
é contínuo em todo
.
Resposta
O domínio é
e a função é contínua em todo número desse domínio.