27-34 Explique, usando os Teoremas 4,5,7 e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
f(t)=e^-t^2 ln (1+t^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(t)=e^-t^2lnl(1+t^2r) é contínua em cada ponto do seu domínio e indicar qual é esse domínio. O conteúdo envolve: polinômios, exponencial, logaritmo, composição e produto de funções contínuas.

Passo 2

Para achar o domínio de f, note que o logaritmo natural exige argumento positivo. Como 1+t^2>0 para todo tinR, não há restrições adicionais. Logo, o domínio é ( -infty,infty ).

Passo 3

O termo -t^2 é um polinômio, assim, pelo Teorema 4 (polinômios são contínuos em R), temos -t^2 contínua em todo R. A função exponencial e^x é contínua em R pelo Teorema 7. Então, usando o Teorema 5 (composição de funções contínuas é contínua), tmapsto e^-t^2=e^l(-t^2r)é contínua para todo t.

Passo 4

O polinômio 1+t^2 também é contínuo em R pelo Teorema 4 e satisfaz 1+t^2>0. Como o logaritmo ln x é contínuo em (0,infty) pelo Teorema 7, mais uma vez pelo Teorema 5, a composição tmapsto lnl(1+t^2r)é contínua para todo tinR.

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema 9 (produto de funções contínuas é contínuo onde ambas estão definidas), o produto f(t)=e^-t^2cdotlnl(1+t^2r)é contínuo em todo R.

Resposta

O domínio é ( -infty,infty ) e a função é contínua em todo número desse domínio.

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