27-34 Explique, usando os Teoremas
e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a função
é contínua em todo número do seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9. Também precisamos determinar qual é esse domínio. Vamos precisar entender sobre continuidade de funções, domínio da função e aplicar esses teoremas para justificar a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Olhemos para a função
. O denominador é
. Para que a função esteja definida, o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, já que não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo.
Passo 4
Analisando
, percebemos que
é sempre não negativo (porque qualquer número elevado a uma potência par é positivo ou zero). Assim,
será sempre maior que 2, ou seja, sempre positivo.
Passo 5
Isso significa que o denominador
nunca é zero e sempre está definido para todos os números reais. Portanto, o domínio da função é
, todos os números reais.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no gráfico dessa função naquele ponto. Para funções racionais e radicais, a continuidade depende principalmente do domínio e das propriedades das operações envolvidas.
Passo 7
Usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9 (que provavelmente se referem a propriedades de continuidade como soma, produto, composição de funções contínuas etc.), podemos afirmar o seguinte:
-
é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo . -
também é um polinômio e, portanto, contínuo em todo . - A função raiz quadrada
é contínua para . - A composição de funções contínuas é contínua.
Passo 8
Como o denominador
é contínuo e nunca zero no domínio
, a divisão de duas funções contínuas (
e
) também será contínua em todo
.
Resposta
Portanto, a função
é contínua para todos os números reais no seu domínio, que é
.