27-34 Explique, usando os Teoremas 4,5,7 e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
f(x)=x^2raizx^4+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a função é contínua em todo número do seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9. Também precisamos determinar qual é esse domínio. Vamos precisar entender sobre continuidade de funções, domínio da função e aplicar esses teoremas para justificar a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Olhemos para a função . O denominador é . Para que a função esteja definida, o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero, já que não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo.

Passo 4

Analisando , percebemos que é sempre não negativo (porque qualquer número elevado a uma potência par é positivo ou zero). Assim, será sempre maior que 2, ou seja, sempre positivo.

Passo 5

Isso significa que o denominador nunca é zero e sempre está definido para todos os números reais. Portanto, o domínio da função é , todos os números reais.

Passo 6

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no gráfico dessa função naquele ponto. Para funções racionais e radicais, a continuidade depende principalmente do domínio e das propriedades das operações envolvidas.

Passo 7

Usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9 (que provavelmente se referem a propriedades de continuidade como soma, produto, composição de funções contínuas etc.), podemos afirmar o seguinte:
  • é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo .
  • também é um polinômio e, portanto, contínuo em todo .
  • A função raiz quadrada é contínua para .
  • A composição de funções contínuas é contínua.

Passo 8

Como o denominador é contínuo e nunca zero no domínio , a divisão de duas funções contínuas ( e ) também será contínua em todo .

Resposta

Portanto, a função é contínua para todos os números reais no seu domínio, que é .

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