27-34 Explique, usando os Teoremas 4,5,7 e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
h(t)=cos (t^2)1-e^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente explicar por que a função é contínua em todo o seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9. Primeiro, vamos entender o que é continuidade e identificar qual é o domínio da função.

Passo 2

Continuidade basicamente significa que a função não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Ou seja, podemos desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Para mostrar que é contínua, precisamos ver se tanto o numerador quanto o denominador são contínuos e também garantir que o denominador nunca seja zero, pois isso causaria uma descontinuidade.

Passo 3

Vamos identificar o domínio da função . O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida.

Passo 4

Vamos resolver 1 - e^t = 0 implies e^t = 1 implies t = 0 para encontrar onde a função não está definida:
Então, é o ponto onde a função não está definida. Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 5

Agora, vamos usar os teoremas para mostrar a continuidade. Supondo que:
  • Teorema 4: Funções trigonométricas como são contínuas em todo o seu domínio.
  • Teorema 5: Funções exponenciais como são contínuas em todo o seu domínio.
  • Teorema 7: A soma, subtração, multiplicação e divisão (quando o denominador não é zero) de funções contínuas também são contínuas.
  • Teorema 9: Especifica condições para a continuidade de funções racionais.

Passo 6

Aplicando o Teorema 4, sabemos que é contínua para todo real. Pelo Teorema 5, também é contínua para todo .

Passo 7

Pelo Teorema 7, a função é contínua porque é a subtração de duas funções contínuas. Além disso, a divisão de duas funções contínuas é contínua, desde que o denominador não seja zero, o que já garantimos ao definir o domínio como .

Passo 8

Portanto, combinando tudo, a função é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais menos .

Resposta

A função é contínua para todo real, exceto em . Portanto, o domínio de é .

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