27-34 Explique, usando os Teoremas
e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente explicar por que a função
é contínua em todo o seu domínio, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9. Primeiro, vamos entender o que é continuidade e identificar qual é o domínio da função.
Passo 2
Continuidade basicamente significa que a função não tem “quebras” ou “saltos” no seu gráfico. Ou seja, podemos desenhá-la sem levantar o lápis do papel. Para mostrar que
é contínua, precisamos ver se tanto o numerador quanto o denominador são contínuos e também garantir que o denominador nunca seja zero, pois isso causaria uma descontinuidade.
Passo 3
Vamos identificar o domínio da função
. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, o denominador
não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida.
Passo 4
Vamos resolver
para encontrar onde a função não está definida:
Então,
é o ponto onde a função não está definida. Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 5
Agora, vamos usar os teoremas para mostrar a continuidade. Supondo que:
- Teorema 4: Funções trigonométricas como
são contínuas em todo o seu domínio. - Teorema 5: Funções exponenciais como
são contínuas em todo o seu domínio. - Teorema 7: A soma, subtração, multiplicação e divisão (quando o denominador não é zero) de funções contínuas também são contínuas.
- Teorema 9: Especifica condições para a continuidade de funções racionais.
Passo 6
Aplicando o Teorema 4, sabemos que
é contínua para todo
real. Pelo Teorema 5,
também é contínua para todo
.
Passo 7
Pelo Teorema 7, a função
é contínua porque é a subtração de duas funções contínuas. Além disso, a divisão de duas funções contínuas é contínua, desde que o denominador não seja zero, o que já garantimos ao definir o domínio como
.
Passo 8
Portanto, combinando tudo, a função
é contínua em todo o seu domínio, que é todos os números reais menos
.
Resposta
A função
é contínua para todo
real, exceto em
. Portanto, o domínio de
é
.