27-34 Explique, usando os Teoremas
e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Estamos estudando a função
. O objetivo é mostrar que ela é contínua em todo número do seu domínio usando os Teoremas 4 (funções constantes), 5 (identidade), 7 (soma, produto e quociente) e 9 (composição). Vamos precisar identificar o domínio e depois aplicar cada teorema para montar a continuidade passo a passo.
Passo 2
Para que
esteja definido, precisamos de
. Resolvendo essa desigualdade, obtemos
. Logo, o domínio de
é o intervalo
.
Passo 3
A constante
é contínua (Teorema 4) e a função identidade
também é contínua (Teorema 5). Aplicando o Teorema 7, o produto
é contínuo e, em seguida, a diferença
também é contínua.
Passo 4
A função
é contínua para
. Como
no domínio
, pelo Teorema 9 (composição),
é contínua em
.
Passo 5
Finalmente,
é contínua e
é contínua em
. Pelo Teorema 7, o produto dessas duas funções, que é
, é contínuo para todo
em
.
Resposta
O domínio é (-1,1) e a função é contínua para todo número nesse intervalo.