27-34 Explique, usando os Teoremas 4,5,7 e 9 , por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
L(v)=v ln (1-v^2)

Passo 1

Estamos estudando a função L(v)=vln(1-v^2). O objetivo é mostrar que ela é contínua em todo número do seu domínio usando os Teoremas 4 (funções constantes), 5 (identidade), 7 (soma, produto e quociente) e 9 (composição). Vamos precisar identificar o domínio e depois aplicar cada teorema para montar a continuidade passo a passo.

Passo 2

Para que ln(1-v^2) esteja definido, precisamos de 1-v^2>0. Resolvendo essa desigualdade, obtemos -1. Logo, o domínio de L é o intervalo (-1,1).

Passo 3

A constante 1 é contínua (Teorema 4) e a função identidade vmapsto v também é contínua (Teorema 5). Aplicando o Teorema 7, o produto vcdot v=v^2 é contínuo e, em seguida, a diferença 1-v^2 também é contínua.

Passo 4

A função ln(x) é contínua para x>0. Como 1-v^2>0 no domínio (-1,1), pelo Teorema 9 (composição), vmapstoln(1-v^2) é contínua em (-1,1).

Passo 5

Finalmente, v é contínua e ln(1-v^2) é contínua em (-1,1). Pelo Teorema 7, o produto dessas duas funções, que é L(v)=vln(1-v^2), é contínuo para todo v em (-1,1).

Resposta

O domínio é (-1,1) e a função é contínua para todo número nesse intervalo.

Exercícios relacionados