Seja uma partícula de massa m (elétron) confinada num potencial quadrado unidimensional V(x) (poço quântico infinito 1 D ), o potencial quadrado tem uma largura a, e o poço se encontra entre x=0 e x=a. (a) Determine a autofunção (em todo o espaço) para o estado fundamental. Explique. Faça um gráfico da autofunção. (0.5 ptos.)
(b) Calcule o valor da energia E, para o estado fundamental. Explique os cálculos. (1 pto.)
(c) Escreva a função de onda para o estado fundamental
(d) Calcule o valor esperado para a energia associada (0.5 ptos). com o estado fundamental ( 1 pto.).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados do problema:
Uma partícula de massa m\) (eletron) está confinada num poço infinito unidimensional de largura \(a\).
- O poço está entre \(x=0\) e \(x=a\).
- O potencial é
\[V(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<a,\\[4pt] +\infty, & x\le 0 \text{ ou } x\ge a. \end{cases}
Perguntas:
(a) Determinar a autofunção (em todo o espaço) para o estado fundamental e fazer um gráfico da autofunção.
(b) Calcular o valor da energia (E] do estado fundamental, explicando os cálculos.
(c) Escrever a função de onda para o estado fundamental (a forma completa da função de onda).
(d) Calcular o valor esperado da energia para o estado fundamental.]
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo e explicando cada termo.
A equação de Schrödinger independente do tempo em 1D é
Cálculo da energia quantizada e do valor para o estado fundamental.
Recordando que k_n=\dfrac{n\pi}{a} e que k^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}, temos
E_n=\frac{\hbar^2 k_n^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 =\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2 m a^2}.
Para o estado fundamental n=1:
E_1=\frac{\hbar^2\pi^2}{2 m a^2}.
Explicando: a quantização da energia aparece porque a condição \psi(a)=0 só permite valores discretos de k, e E depende de k^2.
Se quiser um valor numérico para um elétron basta substituir m=m_e (massa do elétron) e os valores de a; normalmente mantém-se na forma simbólica.
Passo 7
Escrevendo a função de onda dependente do tempo para o estado fundamental.
A solução temporal para um autofunção de energia E_1 é simplesmente um fator de fase complexo:
\Psi_1(x,t)=\psi_1(x)\,e^{-iE_1 t/\hbar},
onde \psi_1(x) é a autofunção espacial normalizada encontrada no Passo 5 e E_1 é dado no Passo 6.
Explicando: o fator e^{-iE t/\hbar} é a evolução temporal dos estados estacionários — ele não muda a probabilidade espacial |\Psi|^2=|\psi|^2 porque tem módulo 1.
Passo 8
Cálculo do valor esperado da energia no estado fundamental (mostrando por que resulta em E_1).
O valor esperado da energia para um estado normalizado \psi é
porque \psi_1 está normalizada. Ou seja, o valor esperado da energia no estado fundamental é exatamente a energia eigenvalor E_1.
Passo 9
Gráfico da autofunção (descrição e esboço simples).
A forma da autofunção espacial \psi_1(x)=\sqrt{2/a}\sin(\pi x/a) em 0<x<a é uma meia-senoide: começa em zero em x=0, sobe até um máximo em x=a/2 e volta a zero em x=a. Fora do intervalo é zero. O máximo tem amplitude \sqrt{2/a}.