Seja uma partícula de massa m (elétron) confinada num potencial quadrado unidimensional V(x) (poço quântico infinito 1 D ), o potencial quadrado tem uma largura a, e o poço se encontra entre x=0 e x=a. (a) Determine a autofunção (em todo o espaço) para o estado fundamental. Explique. Faça um gráfico da autofunção. (0.5 ptos.)
(b) Calcule o valor da energia E, para o estado fundamental. Explique os cálculos. (1 pto.)
(c) Escreva a função de onda para o estado fundamental
(d) Calcule o valor esperado para a energia associada (0.5 ptos). com o estado fundamental ( 1 pto.).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do problema:
    • Uma partícula de massa m\) (eletron) está confinada num poço infinito unidimensional de largura \(a\). - O poço está entre \(x=0\) e \(x=a\). - O potencial é \[V(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<a,\\[4pt] +\infty, & x\le 0 \text{ ou } x\ge a. \end{cases}
  • Perguntas:
    (a) Determinar a autofunção (em todo o espaço) para o estado fundamental e fazer um gráfico da autofunção.
    (b) Calcular o valor da energia (E] do estado fundamental, explicando os cálculos.
    (c) Escrever a função de onda para o estado fundamental (a forma completa da função de onda).
    (d) Calcular o valor esperado da energia para o estado fundamental.]

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo e explicando cada termo.
A equação de Schrödinger independente do tempo em 1D é
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Explicando as variáveis:
  • \psi(x) é a autofunção espacial (função de onda estacionária).
  • \hbar é a constante de Planck reduzida.
  • m é a massa da partícula (aqui: massa do elétron, mas vamos manter m simbólico).
  • V(x) é o potencial (definido no Passo 1).
  • E é a energia associada ao estado.
Dentro do poço, onde 0<x<a, temos V(x)=0. Então a equação reduz a
-\frac{\hbar^2}{2m}\psi''(x)=E\psi(x).
Rearranjando,
\psi''(x) + k^2\psi(x)=0, \qquad\text{com}\qquad k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}.
Essa é a equação diferencial harmônica cuja solução geral é
\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx),
para 0<x<a. Vou explicar como usar as condições do poço infinito para achar A,B e k.

Passo 3

Condições de contorno impostas pelo poço infinito e consequências.
Porque V(x)=+\infty fora do intervalo [0,a], a função de onda deve anular-se onde V=+\infty. Ou seja,
\psi(x)=0\quad\text{para } x\le 0 \text{ e } x\ge a.
A função de onda tem de ser contínua; então os limites em x=0 e x=a obrigam
\psi(0)=0,\qquad \psi(a)=0.
Aplicando \psi(0)=0 na forma geral:
\psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=B=0.
Logo B=0 e a solução dentro do poço fica
\psi(x)=A\sin(kx).
Agora aplicar \psi(a)=0:
\psi(a)=A\sin(ka)=0.
Para A\neq0 (não queremos função nula), precisa ser \sin(ka)=0, logo
ka = n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Isto quantiza k:
k_n=\frac{n\pi}{a}.
Cada n dá um modo estacionário (autofunção) com energia associada. O estado fundamental corresponde a n=1 (menor energia).

Passo 4

Construindo a autofunção (não-normalizada) do estado fundamental e explicando escolha de n.
Para n=1 (estado fundamental) temos
\psi_1(x)=A\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right), \qquad 0<x<a,
e \psi_1(x)=0 para x\le0 ou x\ge a.
Por que n=1 é o fundamental? Porque k_n cresce com n e a energia E é proporcional a k^2; portanto n=1 é o menor modo não-trivial com energia mínima.

Passo 5

Normalização da autofunção (passo a passo, sem pular contas).
A normalização exige
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi_1(x)|^2\,dx = 1.
Como \psi_1=0 fora de [0,a], isso reduz a
\int_0^a |A|^2 \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = 1.
A função é real, então |A|^2=A^2. Calculo da integral:
usar a identidade
\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Então
\int_0^a \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \int_0^a \frac{1-\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[ x \right]_0^a - \frac{1}{2}\left[\frac{a}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right]_0^a.
A segunda parcela é zero porque \sin(2\pi)=\sin(0)=0. Logo
\int_0^a \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \frac{a}{2}.
Voltando à normalização:
A^2\cdot\frac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad A=\sqrt{\frac{2}{a}}.
Portanto a autofunção normalizada do estado fundamental é
\psi_1(x)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{a}}\,\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right), & 0<x<a,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 6

Cálculo da energia quantizada e do valor para o estado fundamental.
Recordando que k_n=\dfrac{n\pi}{a} e que k^2=\dfrac{2mE}{\hbar^2}, temos
E_n=\frac{\hbar^2 k_n^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 =\frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2 m a^2}.
Para o estado fundamental n=1:
E_1=\frac{\hbar^2\pi^2}{2 m a^2}.
Explicando: a quantização da energia aparece porque a condição \psi(a)=0 só permite valores discretos de k, e E depende de k^2.
Se quiser um valor numérico para um elétron basta substituir m=m_e (massa do elétron) e os valores de a; normalmente mantém-se na forma simbólica.

Passo 7

Escrevendo a função de onda dependente do tempo para o estado fundamental.
A solução temporal para um autofunção de energia E_1 é simplesmente um fator de fase complexo:
\Psi_1(x,t)=\psi_1(x)\,e^{-iE_1 t/\hbar},
onde \psi_1(x) é a autofunção espacial normalizada encontrada no Passo 5 e E_1 é dado no Passo 6.
Explicando: o fator e^{-iE t/\hbar} é a evolução temporal dos estados estacionários — ele não muda a probabilidade espacial |\Psi|^2=|\psi|^2 porque tem módulo 1.

Passo 8

Cálculo do valor esperado da energia no estado fundamental (mostrando por que resulta em E_1).
O valor esperado da energia para um estado normalizado \psi é
\langle E\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\,\hat{H}\,\psi(x)\,dx,
onde \hat{H}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2}+V(x) é o operador Hamiltoniano.
Como \psi_1 é autofunção de \hat{H} com autovalor E_1, vale
\hat{H}\psi_1=E_1\psi_1.
Portanto
\langle E\rangle=\int \psi_1^*(x) E_1 \psi_1(x)\,dx = E_1 \int |\psi_1(x)|^2 dx = E_1\cdot 1 = E_1,
porque \psi_1 está normalizada. Ou seja, o valor esperado da energia no estado fundamental é exatamente a energia eigenvalor E_1.

Passo 9

Gráfico da autofunção (descrição e esboço simples).
A forma da autofunção espacial \psi_1(x)=\sqrt{2/a}\sin(\pi x/a) em 0<x<a é uma meia-senoide: começa em zero em x=0, sobe até um máximo em x=a/2 e volta a zero em x=a. Fora do intervalo é zero. O máximo tem amplitude \sqrt{2/a}.
Esboço ASCII (eixo x de 0 a a, qualitativo):
x=0 x=a/4 x=a/2 x=3a/4 x=a
|---------|-----------|------------|----------|
0 ↑ / \ ↑ 0
| / \ |
|_/ _|
Legenda: pico central em x=a/2 com altura \sqrt{2/a}. (Na prova, desenhe uma meia-seno entre os pontos 0 e a com zero nas bordas.)

Resposta

(a) \psi_1(x)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right), & 0<x<a,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
(b) E_1=\frac{\hbar^2\pi^2}{2 m a^2}.
(c) \Psi_1(x,t)=\psi_1(x)\,e^{-iE_1 t/\hbar} =\begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)e^{-i\frac{\hbar\pi^2}{2 m a^2}t}, & 0<x<a,\\[8pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
(d) \langle E\rangle = E_1 = \frac{\hbar^2\pi^2}{2 m a^2}.]

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