- 27.70 Uma barra uniforme de comprimento L , conduz uma corrente i na direção do ponto a ao ponto b. A barra está em um campo magnético uniforme, no sentido de fora para dentro da página. Considere o torque em torno de um eixo perpendicular à barra no campo a, que se deve à força que o campo magnético exerce sobre a barra.
b) Use
para calcular o torque total
sobre a barra
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação (peguei essas informações da imagem enviada):
- Uma barra uniforme de comprimento
. - A barra conduz uma corrente
no sentido do ponto para o ponto (peguei isso da imagem). - Há um campo magnético uniforme
apontando para dentro da página (na imagem isso é indicado por cruzes). - Quer-se calcular o torque total
sobre a barra devido à força magnética, tomando momentos em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pelo ponto (o eixo em está indicado na figura).
O que o problema pede: calcular o torque total
(magnitude e expressão) exercido pelo campo magnético sobre a barra em relação ao ponto
.
Passo 2
Relembrando a força magnética sobre um elemento de fio com corrente: para um elemento de comprimento
que conduz corrente
em um campo magnético
, o diferencial de força é dado pela lei de Laplace (força de Lorentz para corrente):
Explicação didática: aqui
-
é um vetor que aponta ao longo da barra no sentido da corrente, com magnitude igual ao comprimento do pequeno trecho . - O produto vetorial
indica que a direção de é perpendicular tanto a quanto a , e a magnitude é , onde é o ângulo entre e .
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: a barra está no plano da página e
é perpendicular a esse plano (para dentro da página). Portanto o ângulo entre
(no plano) e
(perpendicular ao plano) é
e
. Assim a magnitude do diferencial de força sobre um trecho de comprimento
é
Observação sobre direção: o sentido de
é perpendicular à barra e ao plano, indicado por regra da mão direita aplicada ao produto vetorial; para o cálculo do torque só interessa a magnitude do braço de alavanca vezes essa força (ou o sinal/ sentido se quisermos a direção do torque).
Passo 4
Agora escrevemos o diferencial de torque produzido por esse diferencial de força, tomando o eixo em
. Para um elemento localizado a uma distância
do ponto
ao longo da barra (peguei esse
do esquema onde se mostra um elemento
situado a uma distância
de
), o diferencial de torque (magnitude) em relação a
é
Explicação: torque é
. Aqui
(distância do ponto
até o elemento), e a força é perpendicular à barra, então o braço de alavanca é exatamente
e não há fator trigonométrico adicional.
Substituindo
obtemos
Aqui as variáveis significam:
-
é a distância medida ao longo da barra a partir do ponto . -
é o comprimento infinitesimal do elemento. -
é a corrente na barra. -
é a intensidade do campo magnético uniforme.
Passo 5
Somamos (integramos) as contribuições de torque de todo o segmento da barra, de
(em
) até
(em
). Assim:
Explicação do passo: a integral soma todos os pequenos torques
ao longo da barra; i e B são constantes (barra uniforme em campo uniforme), então saem da integral.
Calcule a integral explicitamente:
Passo 6
Resultado e interpretação:
Significado físico: o torque cresce com o quadrado do comprimento porque segmentos mais distantes de
produzem maior alavanca; a constante
surge da integração linear do braço
ao longo da barra. A unidade está coerente: corrente
campo
comprimento ao quadrado dá unidade de torque (N·m) quando se usam unidades SI apropriadas.
Pequena curiosidade prática: se o eixo estivesse no centro da barra, o torque total seria menor que duas vezes o torque de metade da barra porque as alavancas mudam — nesse caso, repetindo o cálculo com limites simétricos, obter-se-ia
.
Força motivadora: você já fez a parte mais difícil — montar a expressão diferencial correta. A integral é simples e direta; com prática isso fica rapidinho na prova!