1. 27.70 Uma barra uniforme de comprimento L , conduz uma corrente i na direção do ponto a ao ponto b. A barra está em um campo magnético uniforme, no sentido de fora para dentro da página. Considere o torque em torno de um eixo perpendicular à barra no campo a, que se deve à força que o campo magnético exerce sobre a barra.
b) Use \tau=\int_{a}^{b} d \tau para calcular o torque total \tau sobre a barra

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação (peguei essas informações da imagem enviada):
  • Uma barra uniforme de comprimento L.
  • A barra conduz uma corrente \,i\, no sentido do ponto a para o ponto b (peguei isso da imagem).
  • Há um campo magnético uniforme \vec{B} apontando para dentro da página (na imagem isso é indicado por cruzes).
  • Quer-se calcular o torque total \tau sobre a barra devido à força magnética, tomando momentos em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pelo ponto a (o eixo em a está indicado na figura).
O que o problema pede: calcular o torque total \tau (magnitude e expressão) exercido pelo campo magnético sobre a barra em relação ao ponto a.

Passo 2

Relembrando a força magnética sobre um elemento de fio com corrente: para um elemento de comprimento \,d\vec{\ell}\, que conduz corrente \,i\, em um campo magnético \vec{B}, o diferencial de força é dado pela lei de Laplace (força de Lorentz para corrente):
d\vec{F}=i\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.
Explicação didática: aqui
  • \,d\vec{\ell}\, é um vetor que aponta ao longo da barra no sentido da corrente, com magnitude igual ao comprimento do pequeno trecho dx.
  • O produto vetorial \times indica que a direção de d\vec{F} é perpendicular tanto a d\vec{\ell} quanto a \vec{B}, e a magnitude é \,|d\vec{F}|=i\,|d\vec{\ell}|\,|B|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre d\vec{\ell} e \vec{B}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a barra está no plano da página e \vec{B} é perpendicular a esse plano (para dentro da página). Portanto o ângulo entre d\vec{\ell} (no plano) e \vec{B} (perpendicular ao plano) é \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Assim a magnitude do diferencial de força sobre um trecho de comprimento dx é
|d\vec{F}|=i\,B\,dx.
Observação sobre direção: o sentido de d\vec{F} é perpendicular à barra e ao plano, indicado por regra da mão direita aplicada ao produto vetorial; para o cálculo do torque só interessa a magnitude do braço de alavanca vezes essa força (ou o sinal/ sentido se quisermos a direção do torque).

Passo 4

Agora escrevemos o diferencial de torque produzido por esse diferencial de força, tomando o eixo em a. Para um elemento localizado a uma distância x do ponto a ao longo da barra (peguei esse x do esquema onde se mostra um elemento dx situado a uma distância x de a), o diferencial de torque (magnitude) em relação a a é
d\tau = x\,|d\vec{F}|.
Explicação: torque é \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. Aqui |\vec{r}|=x (distância do ponto a até o elemento), e a força é perpendicular à barra, então o braço de alavanca é exatamente x e não há fator trigonométrico adicional.
Substituindo |d\vec{F}|=iB\,dx obtemos
d\tau = x\,(iB\,dx)=iB\,x\,dx.
Aqui as variáveis significam:
  • \,x é a distância medida ao longo da barra a partir do ponto a.
  • \,dx é o comprimento infinitesimal do elemento.
  • \,i é a corrente na barra.
  • \,B é a intensidade do campo magnético uniforme.

Passo 5

Somamos (integramos) as contribuições de torque de todo o segmento da barra, de x=0 (em a) até x=L (em b). Assim:
\tau=\int_{a}^{b} d\tau=\int_{0}^{L} iB\,x\,dx.
Explicação do passo: a integral soma todos os pequenos torques d\tau ao longo da barra; i e B são constantes (barra uniforme em campo uniforme), então saem da integral.
Calcule a integral explicitamente:
\tau = iB \int_{0}^{L} x\,dx = iB\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}=iB\cdot\frac{L^{2}}{2}.

Passo 6

Resultado e interpretação:
\tau=\frac{1}{2}\,i\,B\,L^{2}.
Significado físico: o torque cresce com o quadrado do comprimento porque segmentos mais distantes de a produzem maior alavanca; a constante 1/2 surge da integração linear do braço x ao longo da barra. A unidade está coerente: corrente \times campo \times comprimento ao quadrado dá unidade de torque (N·m) quando se usam unidades SI apropriadas.
Pequena curiosidade prática: se o eixo estivesse no centro da barra, o torque total seria menor que duas vezes o torque de metade da barra porque as alavancas mudam — nesse caso, repetindo o cálculo com limites simétricos, obter-se-ia \tau_{\text{centro}}=iB L^{2}/4.
Força motivadora: você já fez a parte mais difícil — montar a expressão diferencial correta. A integral é simples e direta; com prática isso fica rapidinho na prova!

Resposta

\displaystyle \tau=\frac{1}{2}\,i\,B\,L^{2}

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