- 27.70 Uma barra uniforme de comprimento L , conduz uma corrente i na direção do ponto a ao ponto b. A barra está em um campo magnético uniforme, no sentido de fora para dentro da página. Considere o torque em torno de um eixo perpendicular à barra no campo a, que se deve à força que o campo magnético exerce sobre a barra.
c) Mostre que τ é o mesmo como se toda a força magnética atuasse no ponto intermediário da barra.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece:
- Uma barra retilínea e uniforme de comprimento
, com corrente elétrica fluindo do ponto para o ponto . - Um campo magnético uniforme
dirigido para dentro da página (representado por cruzes). - Quer-se o torque
em torno de um eixo localizado em e perpendicular à barra, devido à força magnética sobre a barra.
A pergunta (parte c) pede para mostrar que o torqueé o mesmo que se toda a força magnética total atuasse concentrada no ponto intermediário (centro) da barra.
Passo 2
Definição de torque para forças distribuídas (recapitulando de forma didática).
- Para uma força pontual
aplicada em um ponto cuja posição relativa ao eixo é , o torque (momento) é . A magnitude é , onde é o ângulo entre e . - Para uma força distribuída ao longo de uma barra, divide-se a barra em elementos diferenciais e soma-se (integra-se) os torques diferenciais:
.
Aqui usaremos a forma escalar, aproveitando que, no desenho, o vetor posição do elemento até o eixo é colinear com a barra e a força diferencial é perpendicular à barra, de modo que o ângulo entree é . Assim, a magnitude do torque diferencial é .
Passo 3
Expressão da força magnética sobre um trecho diferencial da barra.
- Considere um pequeno elemento de comprimento
da barra, localizado a uma distância do ponto . - A força magnética diferencial sobre esse elemento é
onde
tem magnitude
e direção ao longo da barra. No caso da figura o ângulo entre
e
é
, então a magnitude é
Observação didática: o produto vetorial dá a força por unidade de comprimento; como
, o módulo simplifica para
. Além disso, a direção de
é a mesma para todos os elementos (forças paralelas), porque
é uniforme e todos os
têm mesma orientação relativa a
.
Passo 4
Cálculo do torque integrando os torques diferenciais.
- O torque diferencial devido ao elemento localizado a distância
é (magnitude)
- Integramos
de a para obter o torque total:
- Efetuando a integral:
Passo 5
Comparação com a força total concentrada no ponto médio.
- A força magnética total sobre a barra é a integral de
:
- Se toda essa força total atuasse concentrada a uma distância
de (no ponto médio), o torque seria
- Conclusão:
. Ou seja, o torque real é exatamente o mesmo que se toda a força magnética estivesse concentrada no ponto médio da barra. Isso ocorre porque a força por unidade de comprimento é constante ao longo da barra, de modo que o “braço de momento” efetivo é o centro geométrico (o ponto médio).