1. 27.70 Uma barra uniforme de comprimento L , conduz uma corrente i na direção do ponto a ao ponto b. A barra está em um campo magnético uniforme, no sentido de fora para dentro da página. Considere o torque em torno de um eixo perpendicular à barra no campo a, que se deve à força que o campo magnético exerce sobre a barra.
c) Mostre que τ é o mesmo como se toda a força magnética atuasse no ponto intermediário da barra.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece:
  • Uma barra retilínea e uniforme de comprimento L, com corrente elétrica i fluindo do ponto a para o ponto b.
  • Um campo magnético uniforme \vec{B} dirigido para dentro da página (representado por cruzes).
  • Quer-se o torque \tau em torno de um eixo localizado em a e perpendicular à barra, devido à força magnética sobre a barra.
    A pergunta (parte c) pede para mostrar que o torque \tau é o mesmo que se toda a força magnética total atuasse concentrada no ponto intermediário (centro) da barra.

Passo 2

Definição de torque para forças distribuídas (recapitulando de forma didática).
  • Para uma força pontual \vec{F} aplicada em um ponto cuja posição relativa ao eixo é \vec{r}, o torque (momento) é \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}. A magnitude é \tau=rF\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}.
  • Para uma força distribuída ao longo de uma barra, divide-se a barra em elementos diferenciais e soma-se (integra-se) os torques diferenciais: \vec{\tau}=\displaystyle\int \vec{r}\times d\vec{F}.
    Aqui usaremos a forma escalar, aproveitando que, no desenho, o vetor posição do elemento até o eixo é colinear com a barra e a força diferencial é perpendicular à barra, de modo que o ângulo entre \vec{r} e d\vec{F} é 90^\circ. Assim, a magnitude do torque diferencial é d\tau = r\,dF.

Passo 3

Expressão da força magnética sobre um trecho diferencial da barra.
  • Considere um pequeno elemento de comprimento dx da barra, localizado a uma distância x do ponto a.
  • A força magnética diferencial sobre esse elemento é
d\vec{F}=i\,d\vec{\ell}\times\vec{B},
onde d\vec{\ell} tem magnitude dx e direção ao longo da barra. No caso da figura o ângulo entre d\vec{\ell} e \vec{B} é 90^\circ, então a magnitude é
dF = i\,B\,dx.
Observação didática: o produto vetorial dá a força por unidade de comprimento; como \sin 90^\circ=1, o módulo simplifica para iB\,dx. Além disso, a direção de d\vec{F} é a mesma para todos os elementos (forças paralelas), porque \vec{B} é uniforme e todos os d\vec{\ell} têm mesma orientação relativa a \vec{B}.

Passo 4

Cálculo do torque integrando os torques diferenciais.
  • O torque diferencial devido ao elemento localizado a distância x é (magnitude)
d\tau = x\,dF = x\,(iB\,dx).
  • Integramos x de 0 a L para obter o torque total:
\tau=\int_{0}^{L} iB\,x\,dx.
  • Efetuando a integral:
\tau = iB\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{L}=iB\frac{L^{2}}{2}.

Passo 5

Comparação com a força total concentrada no ponto médio.
  • A força magnética total sobre a barra é a integral de dF:
F_{\text{total}}=\int_{0}^{L} iB\,dx = iB\,L.
  • Se toda essa força total atuasse concentrada a uma distância L/2 de a (no ponto médio), o torque seria
\tau_{\text{concentrada}} = F_{\text{total}}\cdot\frac{L}{2}=(iB\,L)\frac{L}{2}=iB\frac{L^{2}}{2}.
  • Conclusão: \tau=\tau_{\text{concentrada}}=iB\frac{L^{2}}{2}. Ou seja, o torque real é exatamente o mesmo que se toda a força magnética estivesse concentrada no ponto médio da barra. Isso ocorre porque a força por unidade de comprimento é constante ao longo da barra, de modo que o “braço de momento” efetivo é o centro geométrico (o ponto médio).

Resposta

\tau = iB\frac{L^{2}}{2} = \bigl(iB\,L\bigr)\frac{L}{2}

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