(Questão 2 - Valor 4,0)
No sistema abaixo, um motor aciona um conjunto de engrenagens. Se o motor gira com velocidade de 1000 p m (constante), determine a velocidade (e sua direção) com que o peso W se desloca

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade (e a direção) com que o peso W se desloca quando o motor gira a \,1000\\ \text{rpm}\,.
Informações relevantes obtidas da figura (peguei estes valores na imagem):
  • diâmetro da engrenagem acoplada ao motor (A): d_A = 45\\ \text{mm};
  • diâmetro da engrenagem grande no mesmo par (B): d_B = 250\\ \text{mm};
  • diâmetro da pequena engrenagem no segundo par (C): d_C = 30\\ \text{mm};
  • diâmetro da engrenagem grande no eixo do tambor (D): d_D = 320\\ \text{mm};
  • diâmetro do tambor onde a corda está enrolada: d_{tambor} = 50\\ \text{mm};
  • velocidade do motor: \,N_M = 1000\\ \text{rpm}.
O objetivo é achar a velocidade linear v_W do peso W (módulo e sentido).

Passo 2

Conceito físico / fórmula usada (explicação didática): quando duas engrenagens estão em contato a velocidade tangencial na superfície de contato é a mesma para ambas. Se \omega é a velocidade angular (rad/s) e d o diâmetro, a igualdade das velocidades tangenciais dá
\omega_A\frac{d_A}{2}=\omega_B\frac{d_B}{2}\quad\Rightarrow\quad \omega_A d_A=\omega_B d_B.
Aqui \omega é a velocidade angular (rad/s) e d é o diâmetro da engrenagem (métrica compatível). Em termos de rotações por minuto (rpm) a mesma ideia vale: N_A d_A = N_B d_B, porque N é proporcional a \omega. Sempre que duas engrenagens se engatam, a relação entre suas velocidades angulares é inversamente proporcional às respectivas diametros.

Passo 3

Montagem da relação para a cadeia de engrenagens (passo-a-passo do raciocínio):
  • A primeira malha: a engrenagem A (no motor) engrena com B, então
N_B = N_A\frac{d_A}{d_B}.
  • A segunda malha: a pequena engrenagem C (solidária a B, portanto N_C=N_B) engrena com D, então
N_D = N_C\frac{d_C}{d_D} = N_B\frac{d_C}{d_D}.
Combinando as duas relações:
N_D = N_A\frac{d_A}{d_B}\cdot\frac{d_C}{d_D}.
Observação sobre direção: cada pares de engrenagens que se engatam invertem o sentido de rotação. Aqui há duas malhas (A–B e C–D), logo ocorrem duas inversões; portanto o sentido de rotação da engrenagem D é o mesmo do motor.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos (faço as contas passo a passo para você conseguir reproduzir na prova):
\frac{d_A}{d_B}=\frac{45}{250}=0{,}18, \qquad \frac{d_C}{d_D}=\frac{30}{320}=0{,}09375.
Multiplicando:
\frac{d_A}{d_B}\cdot\frac{d_C}{d_D}=0{,}18\times0{,}09375=0{,}016875.
Portanto a velocidade de rotação do eixo do tambor (em rpm) é
N_D = N_M\cdot 0{,}016875 = 1000\times0{,}016875 = 16{,}875\\ \text{rpm}.
Converto para revoluções por segundo (rps) e para velocidade angular (rad/s):
\text{rps}_D=\frac{16{,}875}{60}=0{,}28125\\ \text{rps}, \qquad \omega_D = 2\pi\cdot0{,}28125 = 1{,}7671459\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Agora relaciono a rotação do tambor com a velocidade linear do cabo (e do peso). A velocidade linear na superfície do tambor é
v_W = \omega_D\cdot r_{tambor},
onde r_{tambor} é o raio do tambor. Como o diâmetro do tambor é d_{tambor}=50\\ \text{mm}, o raio é
r_{tambor}=\frac{d_{tambor}}{2}=\frac{50}{2}=25\\ \text{mm}=0{,}025\\ \text{m}.
Calculando:
v_W = 1{,}7671459\cdot0{,}025 = 0{,}0441786\\ \text{m/s}.
Arredondando de forma razoável para a prova:
v_W \approx 0{,}0442\\ \text{m/s}.
Também em unidades mais intuitivas:
v_W \approx 44{,}2\\ \text{mm/s}\quad\text{(ou)}\quad v_W\approx 2{,}65\\ \text{m/min}.

Passo 6

Direção do deslocamento: como explicado no Passo 3, a engrenagem D gira no mesmo sentido do motor (duas inversões). Observando a figura, o motor gira no sentido indicado pela seta; com esse sentido a rotação do tambor enrosca a corda de forma que o peso W é içado (movimenta-se para cima). Portanto o sentido do deslocamento de W é para cima.

Resposta

v_W = 0{,}0442\\ \text{m/s} para cima

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