(Questão 2 - Valor 4,0)
No sistema abaixo, um motor aciona um conjunto de engrenagens. Se o motor gira com velocidade de 1000
(constante), determine a velocidade (e sua direção) com que o peso W se desloca
No sistema abaixo, um motor aciona um conjunto de engrenagens. Se o motor gira com velocidade de 1000
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade (e a direção) com que o peso
se desloca quando o motor gira a
.
Informações relevantes obtidas da figura (peguei estes valores na imagem):
Informações relevantes obtidas da figura (peguei estes valores na imagem):
- diâmetro da engrenagem acoplada ao motor (A):
; - diâmetro da engrenagem grande no mesmo par (B):
; - diâmetro da pequena engrenagem no segundo par (C):
; - diâmetro da engrenagem grande no eixo do tambor (D):
; - diâmetro do tambor onde a corda está enrolada:
; - velocidade do motor:
.
O objetivo é achar a velocidade linear
do peso
(módulo e sentido).
Passo 2
Conceito físico / fórmula usada (explicação didática): quando duas engrenagens estão em contato a velocidade tangencial na superfície de contato é a mesma para ambas. Se
é a velocidade angular (rad/s) e
o diâmetro, a igualdade das velocidades tangenciais dá
Aqui
é a velocidade angular (rad/s) e
é o diâmetro da engrenagem (métrica compatível). Em termos de rotações por minuto (rpm) a mesma ideia vale:
, porque
é proporcional a
. Sempre que duas engrenagens se engatam, a relação entre suas velocidades angulares é inversamente proporcional às respectivas diametros.
Passo 3
Montagem da relação para a cadeia de engrenagens (passo-a-passo do raciocínio):
- A primeira malha: a engrenagem A (no motor) engrena com B, então
- A segunda malha: a pequena engrenagem C (solidária a B, portanto
) engrena com D, então
Combinando as duas relações:
Observação sobre direção: cada pares de engrenagens que se engatam invertem o sentido de rotação. Aqui há duas malhas (A–B e C–D), logo ocorrem duas inversões; portanto o sentido de rotação da engrenagem D é o mesmo do motor.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos (faço as contas passo a passo para você conseguir reproduzir na prova):
Multiplicando:
Portanto a velocidade de rotação do eixo do tambor (em rpm) é
Converto para revoluções por segundo (rps) e para velocidade angular (rad/s):
Passo 5
Agora relaciono a rotação do tambor com a velocidade linear do cabo (e do peso). A velocidade linear na superfície do tambor é
onde
é o raio do tambor. Como o diâmetro do tambor é
, o raio é
Calculando:
Arredondando de forma razoável para a prova:
Também em unidades mais intuitivas:
Passo 6
Direção do deslocamento: como explicado no Passo 3, a engrenagem D gira no mesmo sentido do motor (duas inversões). Observando a figura, o motor gira no sentido indicado pela seta; com esse sentido a rotação do tambor enrosca a corda de forma que o peso
é içado (movimenta-se para cima). Portanto o sentido do deslocamento de
é para cima.