27* Calcule a área da elipse
, com
.
Passo 1
O enunciado pede a área da elipse
, com
. Este é um problema de geometria plana em que podemos usar mudança de variáveis para transformar a elipse num círculo unitário ou então reconhecer que a forma canônica
é uma elipse de semieixos
e
, cuja área vale
.
Passo 2
Dividindo a equação dada por
, obtemos a forma padrão da elipse:
Dessa forma, fica claro que os semieixos ao longo de
e de
são, respectivamente,
e
.
Passo 3
Para fundamentar o resultado, fazemos a mudança de variáveis
que leva o disco unitário
no plano
para a elipse no plano
. O jacobiano desta transformação é
Assim, a área da elipse é