27* Calcule a área da elipse b^2 x^2+a^2 y^2=(a b)^2, com a, b>0.

Passo 1

O enunciado pede a área da elipse b^2 x^2 + a^2 y^2 = (a b)^2, com a,b>0. Este é um problema de geometria plana em que podemos usar mudança de variáveis para transformar a elipse num círculo unitário ou então reconhecer que a forma canônica
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
é uma elipse de semieixos a e b, cuja área vale pi a b.

Passo 2

Dividindo a equação dada por (a b)^2, obtemos a forma padrão da elipse:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Dessa forma, fica claro que os semieixos ao longo de x e de y são, respectivamente, a e b.

Passo 3

Para fundamentar o resultado, fazemos a mudança de variáveis
x = a,u, y = b,v,
que leva o disco unitário u^2 + v^2 <= 1 no plano (u,v) para a elipse no plano (x,y). O jacobiano desta transformação é
gl|detpartial(x,y)partial(u,v)gr| = a,b
Assim, a área da elipse é
integral duplasubstacku^2+v^2<=1 a,b ,du,dv = a,b cdot underbraceintegral duplau^2+v^2<=1du,dvpi = pi,a,b

Resposta

pi a b

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