Multiplique cada equação abaixo por um fator integrante adequado, transformando-a em uma equação diferencial exata e resolvendo-a na sequência:
y^2 d x+x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^2,dx + x,y,dy = 0
e pede para achar um fator integrante que torne essa equação exata e depois resolver. O conteúdo envolvido é ODE de primeira ordem não exata e método de fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y^2, N(x,y)=x,y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=y
Como 2yneq y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante em função de x. Para isso avaliamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN =2y - yx,y =yx,y =1x,
que depende só de x. Logo
mu(x)=exp!l(integral tfrac1x,dxr) =exp(ln|x|) =|x|
Podemos escolher mu(x)=x (absorvendo sinal na constante final).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x, obtendo
x,y^2,dx + x^2y,dy =0
Agora
M^*(x,y)=x,y^2, N^*(x,y)=x^2y,
e
partial M^*partial y=2x,y, partial N^*partial x=2x,y,
logo é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M^*=x,y^2
Integrando em x:
Psi(x,y)=integral x,y^2,dx =x^2y^22 + h(y)
Derivando em y e igualando a N^*:
partial Psipartial y = x^2y + h'(y) stackrel!= x^2y Longrightarrow h'(y)=0
Logo h(y) é constante.

Resposta

A solução geral é
x^2y^22=C ou equiva<=ntemente x^2y^2=C',
com C' constante arbitrária.

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