Multiplique cada equação abaixo por um fator integrante adequado, transformando-a em uma equação diferencial exata e resolvendo-a na sequência:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para achar um fator integrante que torne essa equação exata e depois resolver. O conteúdo envolvido é ODE de primeira ordem não exata e método de fator integrante.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante em função de
. Para isso avaliamos
que depende só de
. Logo
Podemos escolher
(absorvendo sinal na constante final).
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e
logo é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Derivando em
e igualando a
:
Logo
é constante.
Resposta
A solução geral é
com
constante arbitrária.