Multiplique cada equação abaixo por um fator integrante adequado, transformando-a em uma equação diferencial exata e resolvendo-a na sequência:
(2 x y-x) d x-d y=0

Passo 1

Estamos com a equação diferencial
(2xy - x),dx - dy = 0,
que escrevemos como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com M(x,y)=2xy - x e N(x,y)=-1. O conteúdo aqui é fator integrante e equações diferenciais exatas: quando não temos partial M/partial y=partial N/partial x, procuramos um fator integrante mu que torne a equação exata.

Passo 2

Verificamos a exatidão original calculando
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = 0,
como 2xneq0, a equação não é exata. Procuramos então um fator integrante que dependa só de x, para isso usamos a condição
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr) =2x-0-1=-2x,
que de fato depende apenas de x.

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu'(x)mu(x)=-2x Longrightarrow mu(x)=e^integral -2x,dx=e^-x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^-x^2, obtendo
l(2xy - xr)e^-x^2,dx ;-; e^-x^2,dy = 0
Agora M^*(x,y)=(2xy-x)e^-x^2 e N^*(x,y)=-e^-x^2.

Passo 5

Conferimos exatidão no novo sistema:
partial M^*partial y =2x,e^-x^2, partial N^*partial x =-l(-2x e^-x^2r)=2x,e^-x^2,
logo é exata.

Passo 6

Existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix=M^* e Psiy=N^*. Integramos M^* em relação a x:
Psi(x,y) =integral!(2xy-x)e^-x^2,dx + h(y) =-y,e^-x^2+tfrac12,e^-x^2+h(y)

Passo 7

Derivamos em relação a y e igualamos a N^*:
Psiy=-e^-x^2+h'(y)stackrel!=-e^-x^2 Longrightarrow h'(y)=0;Rightarrow;h(y)=constante

Passo 8

A solução geral implícita é
Psi(x,y)=C Longrightarrow l(tfrac12 - yr)e^-x^2=C

Resposta

l(tfrac12 - yr)e^-x^2=C,
ou, equivalentemente,
y=tfrac12 - C,e^x^2

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