Multiplique cada equação abaixo por um fator integrante adequado, transformando-a em uma equação diferencial exata e resolvendo-a na sequência:
Passo 1
Estamos com a equação diferencial
que escrevemos como
com
e
. O conteúdo aqui é fator integrante e equações diferenciais exatas: quando não temos
, procuramos um fator integrante
que torne a equação exata.
Passo 2
Verificamos a exatidão original calculando
como
, a equação não é exata. Procuramos então um fator integrante que dependa só de
, para isso usamos a condição
que de fato depende apenas de
.
Passo 3
O fator integrante
satisfaz
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e
.
Passo 5
Conferimos exatidão no novo sistema:
logo é exata.
Passo 6
Existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
Passo 7
Derivamos em relação a
e igualamos a
:
Passo 8
A solução geral implícita é
Resposta
ou, equivalentemente,