27^*. Calcule as integrais indefinidas:
integral 44+x^4 d x. (Sugestão: Complete o quadrado no denominador e use o método das frações parciais.)

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral 44 + x^4,dx
O conteúdo principal é fatorar x^4+4 em dois quadráticos, aplicar frações parciais e depois completar o quadrado para integrar.

Passo 2

Primeiro fatoramos
x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2),(x^2 - 2x + 2)
Propomos a decomposição em frações parciais
4(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) = A x + Bx^2 + 2x + 2 ;+;C x + Dx^2 - 2x + 2

Passo 3

Multiplicando pelos denominadores temos
4 = (A x + B)(x^2 - 2x + 2);+;(C x + D)(x^2 + 2x + 2)
Expandindo e igualando coeficientes de x^3,x^2,x^1 e termo constante, chega-se a
A = tfrac12, B = 1, C = -tfrac12, D = 1

Passo 4

Substituindo de volta,
4x^4 + 4 = tfrac12 x + 1x^2 + 2x + 2 +-tfrac12 x + 1x^2 - 2x + 2
Agora completamos o quadrado em cada denominador:
x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1, x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1
Rewrite cada numerador para separar termos da forma uu^2+1 e 1u^2+1.

Passo 5

Integramos termo a termo, usando as antiderivadas
integral uu^2+1,du = tfrac12ln(u^2+1), integral 1u^2+1,du = arctan(u)
Isso leva a
integral 4x^4 + 4,dx =14lnl((x+1)^2+1r) +12arctan(x+1) -14lnl((x-1)^2+1r) +12arctan(x-1) + C
Juntando os logaritmos e as arctangentes,

Resposta

integral 44 + x^4,dx = 14lnx^2 + 2x + 2,x^2 - 2x + 2, + 12l[arctan(x+1) + arctan(x-1)r] + C

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