Mostre que f(x, y)=clx^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) possui derivadas parciais contínuas. Conclua que f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^4x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo R^2, e então concluir que f é diferenciável em (0,0). O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de derivadas parciais via regra do quociente, cálculo de derivadas no ponto pelo limite, e verificação de continuidade usando cotas e coordenadas polares.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente a
f(x,y)=x^4x^2+y^2
Temos
partial fpartial x =4x^3,(x^2+y^2)-x^4cdot2x(x^2+y^2)^2 =2x^3l(x^2+2y^2r)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =0cdot(x^2+y^2)-x^4cdot2y(x^2+y^2)^2 =-2x^4y(x^2+y^2)^2
As fórmulas de partial f/partial x e partial f/partial y são quocientes de polinômios com denominador x^2+y^2neq0, logo são contínuas em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), calculamos as derivadas parciais por definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^4/h^2-0h =limhto0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0

Passo 4

Só falta ver que as derivadas parciais obtidas em (0,0) coincidem com o limite das fórmulas do passo 2 quando (x,y)to(0,0). Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta:
l|partial fpartial x(x,y)r| =l|2r^5cos^3theta(cos^2theta+2sin^2theta)r^4r| =2r,|cos^3theta|,(cos^2theta+2sin^2theta)<=2rto0,
l|partial fpartial y(x,y)r| =l|2r^5cos^4thetasinthetar^4r| =2r,|cos^4thetasintheta|<=2rto0
Isso mostra que ambas as derivadas parciais tendem a 0 quando (x,y)to(0,0), igual ao valor que encontrámos em (0,0). Logo elas são contínuas em (0,0).

Passo 5

Como partial f/partial x e partial f/partial y existem e são contínuas numa vizinhança de (0,0), f é de classe C^1 nessa vizinhança e, em particular, diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f tem derivadas parciais contínuas em todo R^2 e, portanto, é diferenciável em (0,0).

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