e pede para mostrar que suas derivadas parciais existem e são contínuas em todo R^2, e então concluir que f é diferenciável em (0,0). O conteúdo que vamos usar envolve cálculo de derivadas parciais via regra do quociente, cálculo de derivadas no ponto pelo limite, e verificação de continuidade usando cotas e coordenadas polares.
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0), aplicamos a regra do quociente a
f(x,y)=x^4x^2+y^2
Temos
partial fpartial x =4x^3,(x^2+y^2)-x^4cdot2x(x^2+y^2)^2 =2x^3l(x^2+2y^2r)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =0cdot(x^2+y^2)-x^4cdot2y(x^2+y^2)^2 =-2x^4y(x^2+y^2)^2
As fórmulas de partial f/partial x e partial f/partial y são quocientes de polinômios com denominador x^2+y^2neq0, logo são contínuas em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
No ponto (0,0), calculamos as derivadas parciais por definição:
Só falta ver que as derivadas parciais obtidas em (0,0) coincidem com o limite das fórmulas do passo 2 quando (x,y)to(0,0). Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta:
Isso mostra que ambas as derivadas parciais tendem a 0 quando (x,y)to(0,0), igual ao valor que encontrámos em (0,0). Logo elas são contínuas em (0,0).
Passo 5
Como partial f/partial x e partial f/partial y existem e são contínuas numa vizinhança de (0,0), f é de classe C^1 nessa vizinhança e, em particular, diferenciável em (0,0).
Resposta
A função f tem derivadas parciais contínuas em todo R^2 e, portanto, é diferenciável em (0,0).