27^*. Calcule as integrais indefinidas:
integral(x^41+x^6)^2 d x. (Sugestão: Desenvolva o integrando. Considere a substituição u=x^3 e derive implicitamente).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(x^41+x^6r)^2dx
Este é um problema de integração de funções racionais em que vamos usar a sugestão de desenvolver o integrando e depois aplicar a substituição u=x^3.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o integrando de forma mais explícita:
l(x^41+x^6r)^2 =x^8(1+x^6)^2
Para simplificar, fazemos a substituição sugerida
u = x^3

Passo 3

Diferenciando u, temos
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3
Como x^6 = (x^3)^2 = u^2, o numerador x^8,dx fica
x^8,dx = x^6cdot x^2,dx = u^2,du3
Logo a integral se transforma em
integral x^8(1+x^6)^2,dx = 13integral u^2(1+u^2)^2,du

Passo 4

Para integrar integral u^2(1+u^2)^2,du, decomponho o numerador:
u^2(1+u^2)^2 =1+u^2-1(1+u^2)^2 =11+u^2-1(1+u^2)^2
Assim
13integral u^2(1+u^2)^2,du =13gl(integral 11+u^2,du -integral 1(1+u^2)^2,dugr)

Passo 5

Sabemos que
integral 11+u^2,du = arctan(u),
e que
integral 1(1+u^2)^2,du =u2(1+u^2)+12arctan(u)
Substituindo,
13l(arctan(u) -l(u2(1+u^2)+12arctan(u)r)r) =13l(12arctan(u)-u2(1+u^2)r) =16l(arctan(u)-u1+u^2r)

Passo 6

Retornando à variável x, lembrando que u=x^3, obtemos
integrall(x^41+x^6r)^2dx =16l(arctan(x^3)-x^31+x^6r)+C

Resposta

16arctan(x^3) ;-;x^36,(1+x^6)+C

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