27^*. Calcule as integrais indefinidas:
integral x arcsin (x) d x, (Sugestão: Integração por partes).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função ,xarcsin(x), ou seja
integral xarcsin(x),dx,
e a sugestão é usar integração por partes. Para isso vamos lembrar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arcsin(x), dv = x,dx
Então
du = 1raiz1-x^2,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes,
integral xarcsin(x),dx = u,v - integral v,du = x^22,arcsin(x) - integral x^22,1raiz1-x^2,dx
Isso dá
integral xarcsin(x),dx = x^22arcsin(x) - 12integral x^2raiz1-x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral x^2raiz1-x^2,dx
escrevemos x^2 = (x^2-1)+1:
integral x^2raiz1-x^2,dx = integral x^2-1raiz1-x^2,dx + integral 1raiz1-x^2,dx
Como x^2-1=-(1-x^2),
integral x^2-1raiz1-x^2,dx = -integral raiz1-x^2,dx,
e sabemos também
integral raiz1-x^2,dx = x2raiz1-x^2 + 12arcsin(x), integral 1raiz1-x^2,dx = arcsin(x)
Logo
integral x^2raiz1-x^2,dx = -l(x2raiz1-x^2 + 12arcsin(x)r) + arcsin(x)

Passo 5

Voltando à integral original,
integral xarcsin(x),dx = x^22arcsin(x) - 12l[ -l(x2raiz1-x^2 + 12arcsin(x)r) + arcsin(x) r] + C
Distribuindo e somando termos semelhantes em arcsin(x), obtemos
integral xarcsin(x),dx = x^22arcsin(x) + x4raiz1-x^2 - 14arcsin(x) + C
Podemos ainda combinar os coeficientes de arcsin(x):
x^22-14 = 2x^2-14,
ficando

Resposta

boxed integral xarcsin(x),dx = 2x^2-14,arcsin(x) + x4raiz1-x^2 + C

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