27^*. Calcule as integrais indefinidas:
integral tan ^3(ln (x))x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3l(ln(x)r)x,dx
O conteúdo aqui é a técnica de substituição para simplificar o logaritmo natural no argumento da tangente.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = ln(x),
logo
du = 1x,dx Longrightarrow dxx=du
A integral em x passa a ser em u:
integral tan^3l(ln(x)r)x,dx = integral tan^3(u),du

Passo 3

Escrevemos tan^3(u) como tan^2(u),tan(u) e usamos tan^2(u)=sec^2(u)-1:
integral tan^3(u),du = integral l(sec^2(u)-1r)tan(u),du = integral sec^2(u),tan(u),du - integral tan(u),du

Passo 4

Para a primeira integral, usamos a substituição w=tan(u), então dw=sec^2(u),du:
integral sec^2(u),tan(u),du = integral w,dw = w^22 = tan^2(u)2
A segunda integral é clássica:
integral tan(u),du = -lnl|cos(u)r|

Passo 5

Juntando os resultados:
integral tan^3(u),du = tan^2(u)2 - l(-ln|cos(u)|r) = tan^2(u)2 + lnl|cos(u)r| + C
Voltando à variável x ( u=ln(x)):
integral tan^3l(ln(x)r)x,dx = tan^2l(ln(x)r)2 + lnl|cosl(ln(x)r)r| + C

Resposta

boxed integral tan^3l(ln(x)r)x,dx = tan^2l(ln(x)r)2 + lnl|cosl(ln(x)r)r| + C

Exercícios relacionados