Determine as funções derivadas parciais
partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) sendo
f(x, y)=cl3 x^3-2 y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 3x^3-2y^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial fpartial x(x,y) e partial fpartial y(x,y). O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente para derivadas parciais quando (x,y)neq(0,0) e a definição de derivada parcial no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) chamemos
N(x,y)=3x^3-2y^3, D(x,y)=x^2+y^2,
de modo que f(x,y)=N/D. Aplicando a regra do quociente em x:
partial fpartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2 =(9x^2)(x^2+y^2)-(3x^3-2y^3)(2x)(x^2+y^2)^2
Agora expandimos o numerador:
9x^2(x^2+y^2)-2x(3x^3-2y^3) =9x^4+9x^2y^2-6x^4+4x,y^3 =3x^4+9x^2y^2+4x,y^3
Logo, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x(x,y) =3x^4+9x^2y^2+4x,y^3(x^2+y^2)^2

Passo 3

Do mesmo jeito, em relação a y temos
partial fpartial y =partial Npartial y,D - N,partial Dpartial yD^2 =(-6y^2)(x^2+y^2)-(3x^3-2y^3)(2y)(x^2+y^2)^2
Expandindo o numerador:
-6y^2(x^2+y^2)-2y(3x^3-2y^3) =-6x^2y^2-6y^4-6x^3y+4y^4 =-6x^3y-6x^2y^2-2y^4
Portanto, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial y(x,y) =-6x^3y-6x^2y^2-2y^4(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto03h^3h^2-0h =limhto03hh =3
E
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto0-2h^3h^2-0h =limhto0-2hh =-2

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =3x^4+9x^2y^2+4x,y^3(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =-6x^3y-6x^2y^2-2y^4(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0)=3, partial fpartial y(0,0)=-2

Exercícios relacionados