27^*. Calcule as integrais indefinidas:
integral x tan ^2(x) d x. (Sugestão: integração por partes).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x tan^2(x),dx
usando integração por partes e identities trigonométricas.

Passo 2

Usamos a identidade
tan^2(x)=sec^2(x)-1
para reescrever a integral como
integral xtan^2(x),dx =integral xl(sec^2(x)-1r),dx =integral xsec^2(x),dx-integral x,dx

Passo 3

Para calcular
integral xsec^2(x),dx
vamos fazer integração por partes. Tomamos
u = x, dv = sec^2(x),dx,
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du = dx, v = integral sec^2(x),dx = tan(x)

Passo 4

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
integral xsec^2(x),dx = xtan(x) - integral tan(x),dx

Passo 5

Agora calculamos
integral tan(x),dx
Como tan(x)=sin(x)cos(x), sabe-se que
integral tan(x),dx = -lnl|cos(x)r| + C

Passo 6

Substituindo em integral xsec^2(x),dx, obtemos
integral xsec^2(x),dx = xtan(x) -l(-lnlvertcos(x)rvertr) = xtan(x) + lnl|cos(x)r|

Passo 7

Também é imediato que
integral x,dx = x^22

Passo 8

Finalmente, voltando à integral original,
integral xtan^2(x),dx =l(xtan(x) + lnlvertcos(x)rvertr) -x^22 + C

Resposta

integral xtan^2(x),dx = xtan(x) + lnl|cos(x)r| - x^22 + C

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