27^*. Calcule as integrais indefinidas:
integral 2 e^2 x-e^xraiz3 e^2 x-6 e^x-1 d x. (Sugestão: Tome u=e^x ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 2e^2x-e^xraiz3e^2x-6e^x-1,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição (substituição u) e uso de integrais do tipo
integralduraizau^2+bu+c. A sugestão é tomar u=e^x.

Passo 2

Fazendo u=e^x temos du=e^x,dx, ou seja dx=duu. Além disso,
2e^2x-e^x = u(2u-1), raiz3e^2x-6e^x-1=raiz3u^2-6u-1
Substituindo na integral,
integral 2e^2x-e^xraiz3e^2x-6e^x-1,dx = integral u(2u-1)raiz3u^2-6u-1cdotduu = integral 2u-1raiz3u^2-6u-1,du

Passo 3

Para integrar
integral2u-1raiz3u^2-6u-1,du, note que
ddu(3u^2-6u-1)=6u-6. Então escrevemos
2u-1 = tfrac13(6u-6) + 1,
e a integral se separa em
integral2u-1raiz3u^2-6u-1,du = tfrac13integral6u-6raiz3u^2-6u-1,du + integralduraiz3u^2-6u-1

Passo 4

Para a primeira parcela use t=3u^2-6u-1, dt=(6u-6),du. Assim,
tfrac13integral6u-6raizt,du = tfrac13integraldtraizt = tfrac23raizt = tfrac23raiz3u^2-6u-1

Passo 5

A segunda parcela é
integralduraiz3u^2-6u-1. Completando o quadrado:
3u^2-6u-1 = 3(u-1)^2 -4
Fazendo v=u-1, fica
integraldvraiz3v^2-4 = 1raiz3integraldvraizv^2-(2/raiz3)^2 = 1raiz3lnl|v + raizv^2-tfrac43r| + C
Voltando a u, dá
1raiz3lnl|,u-1+raiz(u-1)^2-tfrac43,r|

Passo 6

Reunindo as duas parcelas e substituindo u=e^x, obtemos a antiderivada
23raiz3e^2x-6e^x-1 + 1raiz3lnl|,e^x-1+raiz(e^x-1)^2-tfrac43,r| + C

Resposta

integral 2e^2x-e^xraiz3e^2x-6e^x-1,dx = 23raiz3e^2x-6e^x-1 + 1raiz3lnl|e^x-1+raiz(e^x-1)^2-tfrac43r| + C

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