Calcule a integral definida
integral0^1 x^4(1-x)^41+x^2 d x
e use o seu resultado para concluir que 227>pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1x^4(1-x)^41+x^2,dx
e usar esse valor para deduzir que tfrac227>pi. O conteúdo principal envolve divisão de polinômios para simplificar o integrando e depois usar a antiderivada de 11+x^2.

Passo 2

Expandimos o numerador e dividimos por 1+x^2. Primeiro,
x^4(1-x)^4=x^4l(1-4x+6x^2-4x^3+x^4r) =x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8
Fazendo a divisão por 1+x^2 obtemos
x^4(1-x)^41+x^2 = x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4 ;-;41+x^2

Passo 3

Separe a integral:
integral0^1x^4(1-x)^41+x^2,dx = integral0^1l(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4r),dx ;-;4integral0^1dx1+x^2
Calculemos primeiro
integral0^1l(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4r),dx =l[tfracx^77-tfrac4x^66+tfrac5x^55-tfrac4x^33+4xr]0^1 =tfrac17-tfrac23+1-tfrac43+4 =tfrac227

Passo 4

Agora
integral0^1dx1+x^2 =l[arctan(x)r]0^1 =pi4
Logo
-4integral0^1dx1+x^2 =-4cdotpi4 =-pi

Passo 5

Somando os dois resultados:
integral0^1x^4(1-x)^41+x^2,dx =227-pi
Como a função integranda é positiva em [0,1], a integral é maior que zero. Portanto
227-pi>0 Longrightarrow 227>pi

Resposta

Como integral0^1x^4(1-x)^41+x^2,dx>0, segue que 227-pi>0 e, assim,
227>pi

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