QUESTÃO 5
Determine o intervalo de convergência da série
.
(a)
(b) (-2,8)
(c)
(d)
(a)
(b) (-2,8)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série
Informações dadas relevantes:
- É uma série de potências centrada em
, com termo geral . - Precisa-se achar todos os
para os quais a soma converge (ou seja, o intervalo de convergência). - As opções oferecidas no enunciado são:
, , e .
Passo 2
Identificar o raio de convergência
. Para uma série de potências
vale a fórmula
Aqui podemos tomar
. Vamos calcular
. Note que
Preciso da propriedade
. Uma justificativa curta: tome logaritmo
quando
, logo
. Assim
Portanto
Passo 3
Interpretar o raio: a série converge absolutamente para
e diverge para
. Com
o intervalo central aberto é
ou seja o intervalo de convergência absoluta inicial é
. Agora faltam testar os dois extremos
e
(os endpoints).
Passo 4
Testar
(extremo esquerdo). Substituindo
no termo geral obtemos
Então a série torna-se
que é a série harmônica alternada (série alternada com termos
). Aplicando o Teste da Série Alternada (Leibniz): se
é positiva, monotona decrescente e
, então
converge. Aqui
é positiva, decrescente e tende a
. Logo a série em
converge. Observação adicional: a convergência não é absoluta, porque
diverge (série harmônica). Portanto em
há convergência condicional.
Passo 5
Testar
(extremo direito). Substituindo
obtemos
A série passa a ser
que é a série harmônica e sabe-se que diverge (pelo teste da integral, ou pelo resultado clássico de que
diverge). Portanto em
a série diverge.
Passo 6
Concluir o intervalo de convergência juntando os resultados:
- Converge para todo
com (convergência absoluta). - Em
converge (condicional). - Em
diverge.
Logo o intervalo de convergência é
.