QUESTÃO 5

Determine o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n \cdot 5^{n}}.
(a) [-2,8)
(b) (-2,8)
(c) [-2,8]
(d) [2,4]

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n \cdot 5^{n}}.
Informações dadas relevantes:
  • É uma série de potências centrada em x_0=3, com termo geral \dfrac{(x-3)^n}{n\cdot 5^n}.
  • Precisa-se achar todos os x para os quais a soma converge (ou seja, o intervalo de convergência).
  • As opções oferecidas no enunciado são: [-2,8), (-2,8), [-2,8] e [2,4].

Passo 2

Identificar o raio de convergência R. Para uma série de potências \sum a_n (x-3)^n vale a fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Aqui podemos tomar a_n=\dfrac{1}{n\cdot 5^n}. Vamos calcular \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Note que
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{1}{n\cdot 5^n}\right)^{1/n}=\frac{1}{n^{1/n}}\cdot\frac{1}{5}.
Preciso da propriedade \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1. Uma justificativa curta: tome logaritmo \ln(n^{1/n})=\dfrac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty, logo n^{1/n}\to e^0=1. Assim
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}.
Portanto
R=\frac{1}{1/5}=5.

Passo 3

Interpretar o raio: a série converge absolutamente para |x-3|<R e diverge para |x-3|>R. Com R=5 o intervalo central aberto é
3-5 < x < 3+5 \quad\Longrightarrow\quad -2<x<8,
ou seja o intervalo de convergência absoluta inicial é (-2,8). Agora faltam testar os dois extremos x=-2 e x=8 (os endpoints).

Passo 4

Testar x=-2 (extremo esquerdo). Substituindo x=-2 no termo geral obtemos
\frac{(-2-3)^n}{n\cdot 5^n}=\frac{(-5)^n}{n\cdot 5^n}=\frac{(-1)^n}{n}.
Então a série torna-se
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n},
que é a série harmônica alternada (série alternada com termos b_n=1/n). Aplicando o Teste da Série Alternada (Leibniz): se b_n é positiva, monotona decrescente e b_n\to 0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=1/n é positiva, decrescente e tende a 0. Logo a série em x=-2 converge. Observação adicional: a convergência não é absoluta, porque \sum |(-1)^n/n|=\sum 1/n diverge (série harmônica). Portanto em x=-2 há convergência condicional.

Passo 5

Testar x=8 (extremo direito). Substituindo x=8 obtemos
\frac{(8-3)^n}{n\cdot 5^n}=\frac{5^n}{n\cdot 5^n}=\frac{1}{n}.
A série passa a ser
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},
que é a série harmônica e sabe-se que diverge (pelo teste da integral, ou pelo resultado clássico de que \sum 1/n diverge). Portanto em x=8 a série diverge.

Passo 6

Concluir o intervalo de convergência juntando os resultados:
  • Converge para todo x com -2<x<8 (convergência absoluta).
  • Em x=-2 converge (condicional).
  • Em x=8 diverge.
Logo o intervalo de convergência é [-2,8).

Resposta

[-2,8)

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