*27 Um elétron descreve uma trajetôria helicoidal em um campo magnético uniforme de módulo 0,300 T. O passo da hélice e 6.00 \mu \mathrm{~m}. e o módulo da força magnética experimentada pelo elétron e 2.90 \times 10^{-15} \mathrm{~N}. Qual é a velocidade do elétron?

Passo 1

O enunciado diz que um elétron (carga -e, massa m_e) descreve movimento helicoidal num campo magnético uniforme de módulo B=0{,}300\\ \mathrm{T}. Sabemos o passo da hélice p=6{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m} e a força magnética F=2{,}90\times10^{-15}\\ \mathrm{N}. Para achar a velocidade total v precisamos separar em componente perpendicular \,v_\perp (que gera a força F=q\,v_\perp B) e componente paralela \,v_\parallel (que está relacionada ao passo e à frequência de giro).

Passo 2

A componente perpendicular \,v_\perp vem de
v_\perp = \frac{F}{|q|\,B}
onde |q|=e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Logo
v_\perp = \frac{2{,}90\times10^{-15}}{(1{,}602\times10^{-19})(0{,}300)} \approx 6{,}03\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

O período ciclotrônico é
T = \frac{2\pi\,m_e}{|q|\,B}
com m_e=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}, logo
T = \frac{2\pi\,(9{,}11\times10^{-31})}{(1{,}602\times10^{-19})(0{,}300)} \approx 7{,}14\times10^{-11}\\ \mathrm{s}.
A frequência de revolução é f=1/T\approx1{,}40\times10^{10}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

A componente paralela \,v_\parallel desloca o elétron de um passo p a cada revolução, ou seja
v_\parallel = p\,f = (6{,}00\times10^{-6})(1{,}40\times10^{10}) \approx 5{,}04\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

A velocidade total é a combinação vetorial de \,v_\perp e \,v_\parallel:
v = \sqrt{v_\perp^2 + v_\parallel^2} = \sqrt{(6{,}03\times10^4)^2 + (5{,}04\times10^4)^2} \approx 7{,}86\times10^4\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade do elétron é aproximadamente 7,86\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

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