Um certo campo elétrico é definido em coordenadas cilíndricas como
\mathbf{E}=E(\rho) \hat{\boldsymbol{\rho}}=\hat{\boldsymbol{\rho}} \begin{cases}\frac{\rho_{0} \rho^{2}}{R}, & \rho \leq R \\\ \frac{\rho_{0} R^{2}}{\rho}, & \rho \geq R\end{cases}
onde \rho_{0} é uma constante dada.
a) Calcule o fluxo deste campo através de duas superfícies cilíndricas, uma de raio R / 2 \mathrm{e} outra de raio 2 R, ambas com eixo ao longo O z e comprimento 4 R.
b) Repita o cálculo agora aplicando o teorema de Gauss:
\Phi=\oint_{S} \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}} \mathrm{~d} S=\int_{v} \nabla \cdot \mathbf{E} \mathrm{~d} v
Comece pela superfície de maior raio (2 R).

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas cilíndricas
\mathbf{E}=E(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\rho}} \quad\text{com}\quad E(\rho)=\begin{cases} \dfrac{\rho_{0}\,\rho^{2}}{R},&\rho\le R,\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}\,R^{2}}{\rho},&\rho\ge R, \end{cases}
e pede (a) o fluxo através de duas superfícies cilíndricas de raio \tfrac{R}{2} e 2R, comprimento 4R, e (b) repetir o cálculo usando o teorema de Gauss, começando pela superfície de raio 2R.]

Passo 2

Para uma superfície cilíndrica de raio \rho e altura L=4R, o fluxo é
\Phi(\rho) =\oint_S\mathbf{E}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =E(\rho)\;\bigl(2\pi\,\rho\,L\bigr) =E(\rho)\;2\pi\,\rho\,(4R).

Passo 3

No caso \rho=\tfrac{R}{2} temos \rho\le R, logo
E\bigl(\tfrac{R}{2}\bigr) =\frac{\rho_{0}\,(R/2)^{2}}{R} =\frac{\rho_{0}\,R}{4}.
Então
\Phi\bigl(\tfrac{R}{2}\bigr) =\frac{\rho_{0}\,R}{4}\;2\pi\!\bigl(\tfrac{R}{2}\bigr)\,4R =\pi\,\rho_{0}\,R^{3}.

Passo 4

Para \rho=2R \rho\ge R vale
E(2R) =\frac{\rho_{0}\,R^{2}}{2R} =\frac{\rho_{0}\,R}{2}.
Logo
\Phi(2R) =\frac{\rho_{0}\,R}{2}\;2\pi\,(2R)\,4R =8\pi\,\rho_{0}\,R^{3}.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema de Gauss. Primeiro calculamos \nabla\cdot\mathbf{E} em coordenadas cilíndricas:
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho\,E(\rho)\bigr).
Para \rho\le R: \rho\,E(\rho)=\rho\cdot\frac{\rho_{0}\,\rho^{2}}{R}=\frac{\rho_{0}\,\rho^{3}}{R}, \partial(\rho E)/\partial\rho=3\,\rho_{0}\,\rho^{2}/R,
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{1}{\rho}\,\frac{3\,\rho_{0}\,\rho^{2}}{R} =\frac{3\,\rho_{0}\,\rho}{R}.
Para \rho\ge R: \rho E(\rho)=\rho_{0}R^{2} é constante, então \nabla\cdot\mathbf{E}=0.

Passo 6

Calculamos o fluxo pela superfície de raio 2R via Gauss:
\Phi(2R) =\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{E}\,\mathrm{d}v =\int_{z=0}^{4R}\!\int_{\varphi=0}^{2\pi}\!\int_{\rho=0}^{2R} \frac{3\,\rho_{0}\,\rho}{R}\,\bigl(\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z\bigr).
Como \nabla\cdot\mathbf{E}=0 para \rho>R, o integral não-nulo é só de 0 a R:
\Phi(2R) =\frac{3\,\rho_{0}}{R} \,(4R)\,(2\pi)\int_{0}^{R}\rho^{2}\,\mathrm{d}\rho =\frac{3\,\rho_{0}}{R}\,8\pi R \;\frac{R^{3}}{3} =8\pi\,\rho_{0}\,R^{3}.

Passo 7

Comparando, o método direto e o de Gauss coincidem para \rho=2R:
\Phi(2R)=8\pi\,\rho_{0}\,R^{3}.

Resposta

Fluxo pela superfície de raio \tfrac{R}{2}:
\Phi\bigl(\tfrac{R}{2}\bigr)=\pi\,\rho_{0}\,R^{3}.
Fluxo pela superfície de raio 2R:
\Phi(2R)=8\pi\,\rho_{0}\,R^{3},
o mesmo resultado obtido pelo teorema de Gauss.

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