27 Uma função polinomial
é de tal forma que os pontos
,
e
pertencem ao gráfico de
. Logo, é CORRETO afirmar que a imagem desse polinômio para
é:
a) 5 .
b) -2 .
c) 7 .
d) 6 .
a) 5 .
b) -2 .
c) 7 .
d) 6 .
Passo 1
O enunciado dá que os pontos pertencentes ao gráfico de
são:
,
,
e
.
A pergunta é: qual o valor de ?
A pergunta é: qual o valor de
Passo 2
Observação importante (sem cálculos ainda): com quatro pontos com abscissas distintas existe exatamente um polinômio de grau menor ou igual a
que passa por todos eles. Uma forma direta e prática de obter o valor de
em
é usar a fórmula de interpolação de Lagrange, que permite calcular
sem ter que expandir o polinômio completo.
Vou usar a fórmula de Lagrange. Ela diz o seguinte: se os pontos são
, então o polinômio interpolador é
onde as bases de Lagrange
são
Aqui
são as abscissas dos pontos dados e
são as ordenadas. Para nosso caso
e os pares são
,
,
,
. Vou calcular
para cada
e então
Passo 3
Calcular
para
(usando
):
Agora avaliar cada fator:
Multiplicando:
Passo 4
Calcular
para
:
Avaliar:
Multiplicando:
Passo 5
Calcular
para
:
Avaliar:
Multiplicando:
Passo 6
Calcular
para
:
Avaliar:
Multiplicando:
Passo 7
Como verificação rápida (útil em prova): a soma das bases em qualquer
deve ser
. Verificando em
:
Colocando em denominador
:
. Está consistente.
Passo 8
Agora calcular
usando os
dados:
Substituindo os valores encontrados:
Calcule termo a termo:
Somando: