27 Uma função polinomial p(x) é de tal forma que os pontos (2,3),(3,2), (4,7) e (-1,2) pertencem ao gráfico de p(x). Logo, é CORRETO afirmar que a imagem desse polinômio para x=1 é:
a) 5 .
b) -2 .
c) 7 .
d) 6 .

Passo 1

O enunciado dá que os pontos pertencentes ao gráfico de p(x) são:
(2,3), (3,2), (4,7) e (-1,2).
A pergunta é: qual o valor de p(1)?

Passo 2

Observação importante (sem cálculos ainda): com quatro pontos com abscissas distintas existe exatamente um polinômio de grau menor ou igual a 3 que passa por todos eles. Uma forma direta e prática de obter o valor de p em x=1 é usar a fórmula de interpolação de Lagrange, que permite calcular p(1) sem ter que expandir o polinômio completo.
Vou usar a fórmula de Lagrange. Ela diz o seguinte: se os pontos são (x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n), então o polinômio interpolador é
p(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\,\ell_i(x),
onde as bases de Lagrange \ell_i(x) são
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=1\\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui x_i são as abscissas dos pontos dados e y_i=p(x_i) são as ordenadas. Para nosso caso n=4 e os pares são (x_1,y_1)=(2,3), (x_2,y_2)=(3,2), (x_3,y_3)=(4,7), (x_4,y_4)=(-1,2). Vou calcular \ell_i(1) para cada i e então
p(1)=\sum_{i=1}^{4} y_i\,\ell_i(1).

Passo 3

Calcular \ell_1(1) para x_1=2 (usando x_2=3,\;x_3=4,\;x_4=-1):
\ell_1(1)=\frac{1-3}{2-3}\cdot\frac{1-4}{2-4}\cdot\frac{1-(-1)}{2-(-1)}.
Agora avaliar cada fator:
\frac{1-3}{2-3}=\frac{-2}{-1}=2, \qquad \frac{1-4}{2-4}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}, \qquad \frac{1-(-1)}{2-(-1)}=\frac{2}{3}.
Multiplicando:
\ell_1(1)=2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=2.

Passo 4

Calcular \ell_2(1) para x_2=3:
\ell_2(1)=\frac{1-2}{3-2}\cdot\frac{1-4}{3-4}\cdot\frac{1-(-1)}{3-(-1)}.
Avaliar:
\frac{1-2}{3-2}=\frac{-1}{1}=-1, \qquad \frac{1-4}{3-4}=\frac{-3}{-1}=3, \qquad \frac{1-(-1)}{3-(-1)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Multiplicando:
\ell_2(1)=-1\cdot 3\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Calcular \ell_3(1) para x_3=4:
\ell_3(1)=\frac{1-2}{4-2}\cdot\frac{1-3}{4-3}\cdot\frac{1-(-1)}{4-(-1)}.
Avaliar:
\frac{1-2}{4-2}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}, \qquad \frac{1-3}{4-3}=\frac{-2}{1}=-2, \qquad \frac{1-(-1)}{4-(-1)}=\frac{2}{5}.
Multiplicando:
\ell_3(1)=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-2)\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Calcular \ell_4(1) para x_4=-1:
\ell_4(1)=\frac{1-2}{-1-2}\cdot\frac{1-3}{-1-3}\cdot\frac{1-4}{-1-4}.
Avaliar:
\frac{1-2}{-1-2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{1-3}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}, \qquad \frac{1-4}{-1-4}=\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}.
Multiplicando:
\ell_4(1)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{1}{10}.

Passo 7

Como verificação rápida (útil em prova): a soma das bases em qualquer x deve ser 1. Verificando em x=1:
\ell_1(1)+\ell_2(1)+\ell_3(1)+\ell_4(1) =2-\frac{3}{2}+\frac{2}{5}+\frac{1}{10}.
Colocando em denominador 10: \dfrac{20-15+4+1}{10}=\dfrac{10}{10}=1. Está consistente.

Passo 8

Agora calcular p(1) usando os y_i dados:
p(1)=3\cdot\ell_1(1)+2\cdot\ell_2(1)+7\cdot\ell_3(1)+2\cdot\ell_4(1).
Substituindo os valores encontrados:
p(1)=3\cdot 2 + 2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) + 7\cdot\frac{2}{5} + 2\cdot\frac{1}{10}.
Calcule termo a termo:
3\cdot 2 = 6, \qquad 2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-3, \qquad 7\cdot\frac{2}{5}=\frac{14}{5}, \qquad 2\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{5}.
Somando:
p(1)=6-3+\frac{14}{5}+\frac{1}{5}=3+\frac{15}{5}=3+3=6.

Resposta

6

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