Para cada item a seguir deduza, mas não resolva, a integral que calcula o que se pede. Justifique cada passo e ao final apresente uma integral organizada em simplificada o quanto possível, caso o contrário perderá pontos.
\int_{C} x y^{4} d s onde C é a interseçāo do círculo x^{2}+y^{2}=1 com o plano y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C} x y^{4}\, d s
onde C é a curva dada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano y+z=2.
Informações que temos:
  • Todos os pontos de C satisfazem simultaneamente x^{2}+y^{2}=1 e y+z=2.
  • A integral é do tipo “integral de uma função escalar ao longo de uma curva”, isto é, integrando f(x,y,z)=x y^{4} em relação ao elemento de comprimento de arco d s ao longo de C.
  • O enunciado pede apenas deduzir (montar) a integral que calcula essa quantidade; não devemos resolvê-la.

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente da curva C.
Justificativa e ensino rápido: para curvas obtidas pela interseção de x^{2}+y^{2}=1 (um cilindro cujo traço no plano xy é um círculo de raio 1) com qualquer plano que não depende de x de forma que permita expressar z em função de y, a parametrização natural usa as coordenadas polares no plano xy:
x=\cos t,\qquad y=\sin t,
com t variando ao longo de um intervalo de comprimento 2\pi para percorrer todo o círculo; escolhemos t\in[0,2\pi].
Como o plano impõe z=2-y, substituindo y=\sin t obtemos
z=2-\sin t.
Portanto uma parametrização da curva C é a curva vetorial
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;2-\sin t\bigr),\qquad t\in[0,2\pi].

Passo 3

Expressar d s em termos da parametrização.
Lembrete e ensino: se uma curva é parametrizada por \mathbf{r}(t), o elemento de comprimento de arco é dado por
d s = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\, dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial e \lVert\cdot\rVert é a norma Euclidiana. Isso vem da definição de comprimento de arco como integral da velocidade \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert.
Calculemos \mathbf{r}'(t):
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-\cos t\bigr).

Passo 4

Calcular explicitamente \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert.
Fazendo o quadrado das componentes e somando:
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert^{2}=(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+(-\cos t)^{2} =\sin^{2}t+\cos^{2}t+\cos^{2}t.
Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1 obtemos
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert^{2}=1+\cos^{2}t,
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d s = \sqrt{1+\cos^{2}t}\; dt.

Passo 5

Substituir x,y e d s na integral e organizar/simplificar.
A função sob a integral é x y^{4}. Substituindo x=\cos t e y=\sin t obtemos
x y^{4}=\cos t\;\sin^{4}t.
Multiplicando pelo elemento de arco d s=\sqrt{1+\cos^{2}t}\,dt, a integral sobre C fica
\int_{C} x y^{4}\, d s = \int_{0}^{2\pi} \cos t\;\sin^{4}t\;\sqrt{1+\cos^{2}t}\;dt.
Para deixar mais organizado (apenas reescrita algébrica), podemos escrever \sin^{4}t=(1-\cos^{2}t)^{2}. Assim a integranda fica uma função apenas de \cos t:
\cos t\;\sin^{4}t\;\sqrt{1+\cos^{2}t} = \cos t\;(1-\cos^{2}t)^{2}\;\sqrt{1+\cos^{2}t}.
Essa forma é mais compacta e pode ser útil se alguém quiser tentar uma substituição posterior, por exemplo u=\cos t ou u=\sin t (atenção: substituições diretas exigem cuidado com monotonicidade dos intervalos), mas lembrando: não vamos resolver a integral aqui.

Resposta

\int_{0}^{2\pi} \cos t\;(1-\cos^{2}t)^{2}\;\sqrt{1+\cos^{2}t}\;dt

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