Para cada item a seguir deduza, mas não resolva, a integral que calcula o que se pede. Justifique cada passo e ao final apresente uma integral organizada em simplificada o quanto possível, caso o contrário perderá pontos.
onde
é a interseçāo do círculo
com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
é a curva dada pela interseção do cilindro
com o plano
.
Informações que temos:
- Todos os pontos de
satisfazem simultaneamente e . - A integral é do tipo “integral de uma função escalar ao longo de uma curva”, isto é, integrando
em relação ao elemento de comprimento de arco ao longo de . - O enunciado pede apenas deduzir (montar) a integral que calcula essa quantidade; não devemos resolvê-la.
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente da curva
.
Justificativa e ensino rápido: para curvas obtidas pela interseção de
(um cilindro cujo traço no plano
é um círculo de raio 1) com qualquer plano que não depende de
de forma que permita expressar
em função de
, a parametrização natural usa as coordenadas polares no plano
:
com
variando ao longo de um intervalo de comprimento
para percorrer todo o círculo; escolhemos
.
Como o plano impõe
, substituindo
obtemos
Portanto uma parametrização da curva
é a curva vetorial
Passo 3
Expressar
em termos da parametrização.
Lembrete e ensino: se uma curva é parametrizada por
, o elemento de comprimento de arco é dado por
onde
é a derivada vetorial e
é a norma Euclidiana. Isso vem da definição de comprimento de arco como integral da velocidade
.
Calculemos
:
Passo 4
Calcular explicitamente
.
Fazendo o quadrado das componentes e somando:
Usando
obtemos
logo
Passo 5
Substituir
e
na integral e organizar/simplificar.
A função sob a integral é
. Substituindo
e
obtemos
Multiplicando pelo elemento de arco
, a integral sobre
fica
Para deixar mais organizado (apenas reescrita algébrica), podemos escrever
. Assim a integranda fica uma função apenas de
:
Essa forma é mais compacta e pode ser útil se alguém quiser tentar uma substituição posterior, por exemplo
ou
(atenção: substituições diretas exigem cuidado com monotonicidade dos intervalos), mas lembrando: não vamos resolver a integral aqui.