Utilizando o método da Transformada de Laplace, resolva o seguinte problema de valor inicia (PVI) para a equação diferencial ordinária de segunda ordem:
sujeito às condições iniciais:
onde
Atenção: Para resolver o problema, é obrigatório:
- Reescrever a função
.
- Aplicar a transformada em ambos os lados da equação e isolar
.
- Desenvolver a decomposição em frações parciais.
- Aplicar o Segundo Teorema da Translação para determinar a transformada inversa e encontrar a solução final
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- EDO e condição inicial dadas:
- A função
- O enunciado manda obrigatoriamente:
- Reescrever .
- Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados e isolar
. - Fazer decomposição em frações parciais.
- Usar o Segundo Teorema da Translação (segunda propriedade de deslocamento/exponenciação) para inverter e obter
.
Não vou resolver nada ainda; só enumerei as informações e o que é pedido.]
Passo 2
Reescrever
usando a função degrau unitário
.
- A função degrau unitário é definida por
para e para . - Para construir
: - A parte
ativa em pode ser escrita como (pois para e para ). - A parte
ativa em é .
- A parte
Assim, uma expressão única é
Para checar rapidamente: se
então
e
. Se
então
e
. OK.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados e isolar
. Vou lembrar as fórmulas principais e por que elas valem:
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é . - Transformadas de derivadas (para condições iniciais em
): - Como as condições iniciais são
e , temos e .
Agora aplicar a transformada à EDO:
Substituindo:
onde
. Fatorando:
Como
, temos finalmente
Passo 4
Calcular
usando a expressão em degrau e a propriedade de deslocamento.
Recordando propriedades úteis:
-
-
- Segunda Teorema da Translação (deslocamento no tempo): se
tem transformada , então
Usando
:
-
(pois.) - Para
, note que tem . Aplicando o deslocamento com :
Somando os termos,
Podemos organizar como
Passo 5
Substituir
em
e separar em partes sem e com o fator
(isso facilita a inversão com o teorema do deslocamento).
Defino
Assim
Vou decompor
e
em frações parciais separadamente.
Passo 6
Decomposição em frações parciais de
.
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
:
Evaluando em valores convenientes:
-
: -
: -
:
Logo
Passo 7
Decomposição de
. Primeiro simplifico
para uma única fração:
Juntando o numerador:
Portanto
Procuramos a decomposição na forma
Multiplicando por
:
Avalio em raízes simples para achar constantes:
-
: -
: -
:
Falta
. Para determinar
, posso escolher
:
- Esquerda:
. - Direita:
.
Substituindo: direita .
Assim
Portanto
e
Passo 8
Aplicar a transformada inversa e o Segundo Teorema da Translação para obter
.
-
Primeiro, a transformada inversa de
(peça sem fator exponencial): Invertendo termo a termo:Denoto -
Agora a transformada inversa de
(a parte que vai multiplicada por ): Invertendo (sem deslocamento):Denoto -
Finalmente, usando o Segundo Teorema da Translação:
Portanto a solução (antes de apresentá-la como resposta final) é a soma da parte não deslocada com a parte deslocada:
onde
e
estão acima. (Abaixo, na seção de resposta, dou a expressão unificada final.)