Utilizando o método da Transformada de Laplace, resolva o seguinte problema de valor inicia (PVI) para a equação diferencial ordinária de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\widehat{f(t)}-
f(t)=2(1-u(t-2))+e^{-(t-2)} u(t-
sujeito às condições iniciais:
y(0)=0 \text { e } y^{\prime}(0)=0
onde f(t)\) é a função definida por partes: \[f(t)= \begin{cases}2 & 0 \leq t<2 \\\ \underline{e^{-(t-2)}}, & t \geq 2\end{cases}
Atenção: Para resolver o problema, é obrigatório:
  1. Reescrever a função f(t)\] em uma única expressão algébrica utilizando a função degrau unitário \(u(t-a).
  2. Aplicar a transformada em ambos os lados da equação e isolar Y(s).
  3. Desenvolver a decomposição em frações parciais.
  4. Aplicar o Segundo Teorema da Translação para determinar a transformada inversa e encontrar a solução final y(t).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • EDO e condição inicial dadas:
y''+3y'+2y=f(t), \qquad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
  • A função f(t)\) é dada por partes (peguei isso do enunciado): \[f(t)=\begin{cases} 2, & 0\le t<2,\\[4pt] e^{-(t-2)}, & t\ge 2. \end{cases}
  • O enunciado manda obrigatoriamente:
    1. Reescrever f(t)\] como uma única expressão com degrau unitário \(u(t-2).
    2. Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados e isolar Y(s).
    3. Fazer decomposição em frações parciais.
    4. Usar o Segundo Teorema da Translação (segunda propriedade de deslocamento/exponenciação) para inverter e obter y(t).
Não vou resolver nada ainda; só enumerei as informações e o que é pedido.]

Passo 2

Reescrever f(t) usando a função degrau unitário u(t-a).
  • A função degrau unitário é definida por \;u(t-a)=0 para t<a e \;u(t-a)=1 para t\ge a.
  • Para construir f(t):
    • A parte 2 ativa em [0,2) pode ser escrita como 2(1-u(t-2)) (pois 1-u(t-2)=1 para t<2 e 0 para t\ge2).
    • A parte e^{-(t-2)} ativa em [2,\infty) é e^{-(t-2)}u(t-2).
Assim, uma expressão única é
f(t)=2(1-u(t-2))+e^{-(t-2)}u(t-2).
Para checar rapidamente: se t<2 então u(t-2)=0 e f(t)=2. Se t\ge2 então u(t-2)=1 e f(t)=e^{-(t-2)}. OK.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados e isolar Y(s). Vou lembrar as fórmulas principais e por que elas valem:
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função g(t) é \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)=\int_0^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt.
  • Transformadas de derivadas (para condições iniciais em t=0): \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
  • Como as condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=0, temos \mathcal{L}\{y'\}=sY(s) e \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s).
Agora aplicar a transformada à EDO:
\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{f(t)\}.
Substituindo:
s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=F(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Fatorando:
Y(s)\bigl(s^2+3s+2\bigr)=F(s).
Como s^2+3s+2=(s+1)(s+2), temos finalmente
Y(s)=\frac{F(s)}{(s+1)(s+2)}.

Passo 4

Calcular F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} usando a expressão em degrau e a propriedade de deslocamento.
Recordando propriedades úteis:
  • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.
  • \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a}.
  • Segunda Teorema da Translação (deslocamento no tempo): se g(t) tem transformada G(s), então \mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}G(s).
Usando f(t)=2(1-u(t-2))+e^{-(t-2)}u(t-2):
  • \mathcal{L}\{2(1-u(t-2))\}=2\mathcal{L}\{1\}-2\mathcal{L}\{u(t-2)\} = \frac{2}{s}-\frac{2e^{-2s}}{s}.
    (pois \mathcal{L}\{u(t-2)\}=e^{-2s}\mathcal{L}\{1\}=e^{-2s}/s.)
  • Para \mathcal{L}\{e^{-(t-2)}u(t-2)\}, note que g(t)=e^{-t} tem \mathcal{L}\{e^{-t}\}=1/(s+1). Aplicando o deslocamento com a=2: \mathcal{L}\{e^{-(t-2)}u(t-2)\}=e^{-2s}\frac{1}{s+1}.
Somando os termos,
F(s)=\frac{2}{s}-\frac{2e^{-2s}}{s}+e^{-2s}\frac{1}{s+1}.
Podemos organizar como
F(s)=\frac{2}{s}+e^{-2s}\!\left(-\frac{2}{s}+\frac{1}{s+1}\right).

Passo 5

Substituir F(s) em Y(s)=\dfrac{F(s)}{(s+1)(s+2)} e separar em partes sem e com o fator e^{-2s} (isso facilita a inversão com o teorema do deslocamento).
Y(s)=\frac{2/s}{(s+1)(s+2)} \;+\; e^{-2s}\cdot\frac{-\dfrac{2}{s}+\dfrac{1}{s+1}}{(s+1)(s+2)}.
Defino
Y_1(s)=\frac{2}{s(s+1)(s+2)} \qquad\text{e}\qquad Y_2(s)=\frac{-\dfrac{2}{s}+\dfrac{1}{s+1}}{(s+1)(s+2)}.
Assim
Y(s)=Y_1(s)+e^{-2s}Y_2(s).
Vou decompor Y_1(s) e Y_2(s) em frações parciais separadamente.

Passo 6

Decomposição em frações parciais de Y_1(s)=\dfrac{2}{s(s+1)(s+2)}.
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{2}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+1)(s+2):
2 = A(s+1)(s+2)+B s(s+2)+C s(s+1).
Evaluando em valores convenientes:
  • s=0: 2 = A\cdot1\cdot2 \Rightarrow A=1.
  • s=-1: 2 = B\cdot(-1)\cdot1 \Rightarrow B=-2.
  • s=-2: 2 = C\cdot(-2)\cdot(-1) \Rightarrow C=1.
Logo
Y_1(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2}.

Passo 7

Decomposição de Y_2(s). Primeiro simplifico Y_2(s) para uma única fração:
Y_2(s)=\frac{-\dfrac{2}{s}+\dfrac{1}{s+1}}{(s+1)(s+2)} = \frac{-2/(s)+1/(s+1)}{(s+1)(s+2)}.
Juntando o numerador:
-\frac{2}{s}+\frac{1}{s+1}=\frac{-2(s+1)+s}{s(s+1)}=\frac{-s-2}{s(s+1)}.
Portanto
Y_2(s)=\frac{-s-2}{s(s+1)^2(s+2)}.
Procuramos a decomposição na forma
\frac{-s-2}{s(s+1)^2(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}+\frac{D}{s+2}.
Multiplicando por s(s+1)^2(s+2):
-s-2 = A(s+1)^2(s+2)+B s(s+1)(s+2)+C s(s+2)+D s(s+1)^2.
Avalio em raízes simples para achar constantes:
  • s=0: -2 = A\cdot1^2\cdot2 \Rightarrow A=-1.
  • s=-1: -(-1)-2 = -1 = C\cdot(-1)\cdot(1) \Rightarrow C=1.
  • s=-2: -(-2)-2 = 0 = D\cdot(-2)\cdot(-1)^2 = -2D \Rightarrow D=0.
Falta B. Para determinar B, posso escolher s=1:
  • Esquerda: -1-2=-3.
  • Direita: A(2^2)(3)+B(1\cdot2\cdot3)+C(1\cdot3)+D(\cdot)=A\cdot12+B\cdot6+C\cdot3.
    Substituindo A=-1, C=1: direita = -12 +6B +3.
    Assim -3=-12+6B+3 \Rightarrow 6B=6 \Rightarrow B=1.
Portanto A=-1,\;B=1,\;C=1,\;D=0 e
Y_2(s)=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^2}.

Passo 8

Aplicar a transformada inversa e o Segundo Teorema da Translação para obter y(t).
  • Primeiro, a transformada inversa de Y_1(s) (peça sem fator exponencial):
    Y_1(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2}.
    Invertendo termo a termo:
    \mathcal{L}^{-1}\{Y_1(s)\}=1-2e^{-t}+e^{-2t}.
    Denoto g_1(t)=1-2e^{-t}+e^{-2t}.
  • Agora a transformada inversa de Y_2(s) (a parte que vai multiplicada por e^{-2s}):
    Y_2(s)=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^2}.
    Invertendo (sem deslocamento):
    \mathcal{L}^{-1}\{Y_2(s)\} = -1 + e^{-t} + t e^{-t}.
    Denoto g_2(t)=-1+e^{-t}+t e^{-t}.
  • Finalmente, usando o Segundo Teorema da Translação:
    \mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}Y_2(s)\}=g_2(t-2)\,u(t-2).
Portanto a solução (antes de apresentá-la como resposta final) é a soma da parte não deslocada com a parte deslocada:
y(t)=g_1(t)+g_2(t-2)\,u(t-2),
onde g_1 e g_2 estão acima. (Abaixo, na seção de resposta, dou a expressão unificada final.)

Resposta

y(t)=1-2e^{-t}+e^{-2t}+u(t-2)\bigl(-1+e^{-(t-2)}+(t-2)e^{-(t-2)}\bigr)

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