Em uma arca imaginária, há 25 pares de animais (macho e fêmea de cada espécie), cada par de uma espécie distinta. São selecionados 13 animais ao acaso para um estudo. Qual a probabilidade de haver ao menos um casal (par da mesma espécie) entre os selecionados?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • 25 pares de animais, ou seja 25 espécies, cada espécie com um macho e uma fêmea. Portanto o total de animais é 50.
  • Selecionam-se 13 animais ao acaso, sem ordem.
  • A pergunta: qual a probabilidade de haver ao menos um casal (isto é, pelo menos um par macho+fêmea da mesma espécie) entre os 13 selecionados?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número total de animais: 50.
  • Tamanho da amostra: 13.
  • Espécies distintas: 25 (cada espécie tem exatamente 2 indivíduos: macho e fêmea).
  • Queremos a probabilidade de “ao menos um casal”.

Passo 2

Estratégia principal (ideia básica que será usada): é muito mais simples contar a probabilidade complementar “não há nenhum casal” (ou seja, todos os 13 escolhidos pertencem a espécies diferentes, no máximo um indivíduo por espécie) e então usar
\text{Prob(ao menos um casal)}=1-\text{Prob(nenhum casal)}.
Isto é um truque clássico: “ao menos um” vira 1- “nenhum”.

Passo 3

Contagem do total de seleções possíveis (denominador): como a seleção é de 13 animais entre 50 sem ordem, o número total de subconjuntos possíveis é
\binom{50}{13},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (lê-se “n escolhe k”) e conta de quantas maneiras diferentes se pode escolher k objetos entre n sem ordem. Lembrete curto sobre \binom{n}{k}:
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! é o fatorial de n (produto dos inteiros positivos até n).

Passo 4

Contagem das seleções que não contêm nenhum casal (numerador da probabilidade complementar):
  • Para não ter nenhum casal precisamos escolher 13 espécies distintas entre as 25 disponíveis (uma vez escolhida a espécie, só podemos pegar um dos dois indivíduos dela).
  • Primeiro escolher quais 13 espécies aparecerão: \binom{25}{13} maneiras.
  • Para cada uma dessas 13 espécies, escolher se o indivíduo escolhido será o macho ou a fêmea: 2 opções por espécie, logo 2^{13} escolhas de sexos.
    Portanto o número de seleções sem casal é
\binom{25}{13}\,2^{13}.

Passo 5

Expressão da probabilidade de não haver nenhum casal e, em seguida, da probabilidade pedida:
\text{Prob(nenhum casal)}=\dfrac{\binom{25}{13}\,2^{13}}{\binom{50}{13}}.
Logo
\text{Prob(ao menos um casal)}=1-\dfrac{\binom{25}{13}\,2^{13}}{\binom{50}{13}}.

Passo 6

Uma outra forma útil (equivalente) de ver \text{Prob(nenhum casal)} é como produto de probabilidades sequenciais (isso ajuda a entender sem factorials):
  • Se escolher os 13 animais um a um sem reposição e exigirmos sempre não formar par com os já escolhidos, no passo k (começando em k=1) o número de escolhas “boas” é 50-2(k-1) e o número de animais restantes é 50-(k-1). Assim
\text{Prob(nenhum casal)}=\prod_{j=0}^{12}\dfrac{50-2j}{50-j}.
Essa fórmula é exatamente igual à razão com binomiais dada antes — são duas formas de ver a mesma contagem.

Passo 7

Cálculo numérico (simplificação exata e aproximação): podemos simplificar a expressão de produto cancelando fatores para obter uma fração inteira pequena o bastante para calcular manualmente:
a simplificação dá
\text{Prob(nenhum casal)}=\dfrac{36\cdot34\cdot32\cdot30\cdot28\cdot26}{49\cdot47\cdot45\cdot43\cdot41\cdot39}.
Calculando numerador e denominador:
\text{numerador}=36\cdot34\cdot32\cdot30\cdot28\cdot26=855\,429\,120,
\text{denominador}=49\cdot47\cdot45\cdot43\cdot41\cdot39=7\,125\,631\,695.
Logo
\text{Prob(nenhum casal)}=\dfrac{855\,429\,120}{7\,125\,631\,695}\approx 0{,}120049584\ldots
e finalmente
\text{Prob(ao menos um casal)}=1-0{,}120049584\ldots\approx 0{,}879950416\ldots

Passo 8

Pequeno exemplo para fixar a ideia (didático): se houvessem só 3 pares (6 indivíduos) e escolhesse 2 animais, o número total de escolhas seria \binom{6}{2}=15. O número de escolhas sem casal seria \binom{3}{2}\cdot 2^{2}=3\cdot4=12. Assim \text{Prob(nenhum casal)}=12/15=0{,}8 e \text{Prob(ao menos um casal)}=0{,}2. A mesma lógica usada no problema maior.

Passo 9

Comentário final curto e incentivo: o raciocínio é sempre o mesmo em problemas de “pares” — contar complementares costuma ser a via mais limpa. Vai dar tudo certo na prova: memoriza a estratégia “1 - probabilidade complementar” e a contagem com \binom{25}{13}\,2^{13}.

Resposta

1-\dfrac{\binom{25}{13}\,2^{13}}{\binom{50}{13}}\approx0{,}879950416

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