Em uma arca imaginária, há 25 pares de animais (macho e fêmea de cada espécie), cada par de uma espécie distinta. São selecionados 13 animais ao acaso para um estudo. Qual a probabilidade de haver ao menos um casal (par da mesma espécie) entre os selecionados?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
- Há
pares de animais, ou seja espécies, cada espécie com um macho e uma fêmea. Portanto o total de animais é . - Selecionam-se
animais ao acaso, sem ordem. - A pergunta: qual a probabilidade de haver ao menos um casal (isto é, pelo menos um par macho+fêmea da mesma espécie) entre os
selecionados?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número total de animais:
. - Tamanho da amostra:
. - Espécies distintas:
(cada espécie tem exatamente 2 indivíduos: macho e fêmea). - Queremos a probabilidade de “ao menos um casal”.
Passo 2
Estratégia principal (ideia básica que será usada): é muito mais simples contar a probabilidade complementar “não há nenhum casal” (ou seja, todos os
escolhidos pertencem a espécies diferentes, no máximo um indivíduo por espécie) e então usar
Isto é um truque clássico: “ao menos um” vira
“nenhum”.
Passo 3
Contagem do total de seleções possíveis (denominador): como a seleção é de
animais entre
sem ordem, o número total de subconjuntos possíveis é
onde
é o coeficiente binomial (lê-se “n escolhe k”) e conta de quantas maneiras diferentes se pode escolher
objetos entre
sem ordem. Lembrete curto sobre
:
onde
é o fatorial de
(produto dos inteiros positivos até
).
Passo 4
Contagem das seleções que não contêm nenhum casal (numerador da probabilidade complementar):
- Para não ter nenhum casal precisamos escolher
espécies distintas entre as disponíveis (uma vez escolhida a espécie, só podemos pegar um dos dois indivíduos dela). - Primeiro escolher quais
espécies aparecerão: maneiras. - Para cada uma dessas
espécies, escolher se o indivíduo escolhido será o macho ou a fêmea: opções por espécie, logo escolhas de sexos.
Portanto o número de seleções sem casal é
Passo 5
Expressão da probabilidade de não haver nenhum casal e, em seguida, da probabilidade pedida:
Logo
Passo 6
Uma outra forma útil (equivalente) de ver
é como produto de probabilidades sequenciais (isso ajuda a entender sem factorials):
- Se escolher os
animais um a um sem reposição e exigirmos sempre não formar par com os já escolhidos, no passo (começando em ) o número de escolhas “boas” é e o número de animais restantes é . Assim
Essa fórmula é exatamente igual à razão com binomiais dada antes — são duas formas de ver a mesma contagem.
Passo 7
Cálculo numérico (simplificação exata e aproximação): podemos simplificar a expressão de produto cancelando fatores para obter uma fração inteira pequena o bastante para calcular manualmente:
a simplificação dá
a simplificação dá
Calculando numerador e denominador:
Logo
e finalmente
Passo 8
Pequeno exemplo para fixar a ideia (didático): se houvessem só
pares (6 indivíduos) e escolhesse
animais, o número total de escolhas seria
. O número de escolhas sem casal seria
. Assim
e
. A mesma lógica usada no problema maior.
Passo 9
Comentário final curto e incentivo: o raciocínio é sempre o mesmo em problemas de “pares” — contar complementares costuma ser a via mais limpa. Vai dar tudo certo na prova: memoriza a estratégia “1 - probabilidade complementar” e a contagem com
.